Przedział jednostkowy

Przedział jednostkowy – przedział ${\displaystyle [0,1]}$ liczb rzeczywistych. We wszystkich swych potencjalnych znaczeniach jest on prawie zawsze oznaczany literą ${\displaystyle I.}$ Odgrywa on fundamentalną rolę w teorii homotopii, gałęzi topologii.

Własności

przestrzeń metryczna

zwarty, ściągalny, łukowo spójny.

przestrzeń topologiczna

homeomorficzny z rozszerzoną prostą rzeczywistą, jest jednowymiarową analityczną rozmaitością o brzegu ${\displaystyle \{0,1\}}$ o standardowej orientacji od ${\displaystyle 0}$ do ${\displaystyle 1.}$

podzbiór liczb rzeczywistych

miara Lebesgue’a równa ${\displaystyle 1,}$ uporządkowany liniowo, jest kratą zupełną (każdy podzbiór przedziału jednostkowego ma kres górny i kres dolny).

Inne znaczenia

W literaturze termin „przedział jednostkowy” może oznaczać również inne przedziały, takie jak ${\displaystyle (0,1],}$ ${\displaystyle [0,1),}$ czy ${\displaystyle (0,1).}$ Zwykle jednak pojęcia tego używa się w stosunku do przedziału domkniętego ${\displaystyle [0,1].}$

Czasami nazwy „przedziału jednostkowego” używa się w odniesieniu do obiektów pełniących podobną rolę w różnych gałęziach matematyki, analogiczną do tej jaką pełni ${\displaystyle [0,1]}$ w teorii homotopii. Przykładem może być teoria kołczanów, gdzie analogonem przedziału jednostkowego jest graf o zbiorze wierzchołków ${\displaystyle \{0,1\}}$ zawierający jedną krawędź ${\displaystyle e}$ skierowaną od ${\displaystyle 0}$ do ${\displaystyle 1.}$ Można także zdefiniować pojęcie homotopii pomiędzy homomorfizmami kołczanów analogiczną do homotopii między funkcjami ciągłymi.

Zobacz też

• okrąg jednostkowy