Przedział wielowymiarowy

Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowy – podzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

Definicja

Niech ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{k}}$ będą dowolnymi przedziałami w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Przedziałem ${\displaystyle k}$-wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ nazywa się zbiór postaci

${\displaystyle P^{(k)}=P_{1}\times \dots \times P_{k}.}$

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział -wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których ${\displaystyle P_{i}}$ dla pewnego ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}$ w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla ${\displaystyle k=-1.}$ Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle ${\displaystyle [0,1],}$ nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

Objętość

Objętością ${\displaystyle k}$-wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału ${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{k}}$ nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

${\displaystyle |P|_{k}=|P_{1}|\dots |P_{k}|,}$

gdzie przez ${\displaystyle |\cdot |}$ rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez ${\displaystyle |\cdot |_{k}}$ – ${\displaystyle k}$-wymiarowego; dla wygody indeks ${\displaystyle k}$ bywa zwykle pomijany.

Konwencje

Może się zdarzyć, że dla ${\displaystyle k\geqslant 2}$ przedział ${\displaystyle P_{k}}$ może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki ${\displaystyle \infty }$ oraz ${\displaystyle 0.}$ Przykładem może być prosta ${\displaystyle \{(x,0)\colon x\in \mathbb {R} \}}$ na płaszczyźnie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

${\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0.}$

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol ${\displaystyle \infty }$ należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli ${\displaystyle -\infty }$ oraz ${\displaystyle +\infty }$ (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu ${\displaystyle \infty }$), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrzna

Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów ${\displaystyle P,Q\in \mathbb {R} ^{n}}$ zawieranie ${\displaystyle P\subseteq Q}$ pociąga za sobą nierówność ${\displaystyle |P|\leqslant |Q|,}$ to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości ${\displaystyle |\cdot |}$ sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Zobacz też

• równoległościan wielowymiarowy

Bibliografia

• A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.