Przekrój Dedekinda

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem aksjomat ciągłości (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji.

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872^[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój ${\displaystyle (A_{1},A_{2})}$ nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru ${\displaystyle X}$ nazywa się każdą taką parę ${\displaystyle (A,B)}$ złożoną z niepustych podzbiorów zbioru ${\displaystyle X,}$ że^[2]:

1. ${\displaystyle A\cup B=X,}$
2. jeżeli ${\displaystyle a\in A}$ oraz ${\displaystyle b\in B,}$ to ${\displaystyle a<b,}$
3. ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Zbiór ${\displaystyle A}$ nazywany jest klasą dolną, a zbiór ${\displaystyle B}$ klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów

Przypuśćmy, że ${\displaystyle (A,B)}$ jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym ${\displaystyle (X,\leqslant ).}$ Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

1. zbiór ${\displaystyle A}$ zawiera element największy, a zbiór ${\displaystyle B}$ ma element najmniejszy,
2. zbiór ${\displaystyle A}$ ma element największy, ale w zbiorze ${\displaystyle B}$ nie istnieje element najmniejszy,
3. w zbiorze ${\displaystyle A}$ nie ma elementu największego, ale w zbiorze ${\displaystyle B}$ istnieje element najmniejszy,
4. ani zbiór ${\displaystyle A}$ nie ma elementu największego ani zbiór ${\displaystyle B}$ nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój ${\displaystyle (A,B)}$ wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też

• aksjomat ciągłości
• częściowy porządek
• konstrukcje liczb rzeczywistych
• praporządek

Przypisy