Przekształcenie antyliniowe

Przekształcenie antyliniowe (przekształcenie półliniowe) – rodzaj przekształcenia między zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Definicja

Niech ${\displaystyle V}$ oraz ${\displaystyle W}$ będą dowolnymi zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Przekształcenie ${\displaystyle f\colon V\to W}$ nazywamy przekształceniem antyliniowym (przekształceniem półliniowym), gdy

${\displaystyle f(ax+by)={\overline {a}}f(x)+{\overline {b}}f(y)}$

dla każdego ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ oraz ${\displaystyle x,y\in V.}$

Własności

• Złożenie dwóch odwzorowań antyliniowych jest zespolonym odwzorowaniem liniowym.
• Odwzorowanie antyliniowe ${\displaystyle f\colon V\to W}$ może być równoważnie opisane jako ${\displaystyle {\overline {f}}\colon V\to {\overline {W}},}$ czyli przekształcenie przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ w sprzężoną przestrzeń liniową zespoloną ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

Przykład

Niech ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ będą zespolonymi przestrzeniami Hilberta. Jeżeli ${\displaystyle T_{1},T_{2}\colon H_{1}\to H_{2}}$ są ciągłymi i liniowymi operatorami oraz ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ,}$ to

${\displaystyle (aT_{1}+bT_{2})^{\star }={\overline {a}}T_{1}^{\star }+{\overline {b}}T_{2}^{\star },}$

gdzie ${\displaystyle T_{i}^{\star }}$ jest operatorem sprzężonym z operatorem ${\displaystyle T_{i},\;i\in \{1,2\}.}$ Zatem sprzężenie hermitowskie ciągłych i liniowych operatorów przestrzeni Hilberta jest przekształceniem antyliniowym.

Zobacz też

• sprzężenie zespolone
• forma półtoraliniowa