Przekształcenie dwuliniowe

Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego dwóch ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, liniowa względem obu zmiennych.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle U_{1},\;U_{2},\;V}$ będą przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem ${\displaystyle K.}$ Przekształcenie ${\displaystyle A:U_{1}\times U_{2}\to V}$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli dla każdego ${\displaystyle a\in U_{2}}$ funkcja ${\displaystyle h_{1}:U_{1}\to V}$ zdefiniowana jako ${\displaystyle h_{1}(x)=A(x,a)}$ jest przekształceniem liniowym dla każdego ${\displaystyle x\in U_{1},}$ oraz jeśli dla każdego ${\displaystyle b\in U_{1}}$ funkcja ${\displaystyle h_{2}:U_{2}\to V}$ zdefiniowana jako ${\displaystyle h_{2}(x)=A(b,x)}$ jest przekształceniem liniowym dla każdego ${\displaystyle x\in U_{2}.}$ Innymi słowy, przekształcenie ${\displaystyle A:U_{1}\times U_{2}\to V}$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli jest ono liniowe względem każdej zmiennej.

Uwaga

Z definicji łatwo wynika, że złożenie przekształcenia dwuliniowego ${\displaystyle A:U\times U\to V,}$ gdzie ${\displaystyle U}$ jest przestrzenią liniową, z rzutami ${\displaystyle \pi _{x},\pi _{y}:U\times U\to U,}$ ${\displaystyle \pi _{x}(x,y)=x,\;\pi _{y}(x,y)=y}$ jest przekształceniem liniowym.

Właściwości

• Przekształcenie ${\displaystyle A}$ jest symetryczne ${\displaystyle \iff A(u,v)=A(v,u)\quad \forall _{u,v\in V}.}$

Zobacz też

• funkcjonał dwuliniowy
• przekształcenie antyliniowe
• przekształcenie liniowe
• przekształcenie półtoraliniowe
• przekształcenie wieloliniowe