Przekształcenie unitarne

Przekształcenie unitarne lub ortogonalne – przekształcenie liniowe dwóch przestrzeni unitarnych (euklidesowych) zachowujące iloczyn skalarny, tzn. taka bijekcja ${\displaystyle \mathrm {U} \colon X\to Y}$ tych przestrzeni, dla której zachodzi

${\displaystyle {\big \langle }\mathrm {U} (\mathbf {x} ),\mathrm {U} (\mathbf {y} ){\big \rangle }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }$

dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X,}$ gdzie ${\displaystyle \cdot }$ oznacza iloczyn skalarny w ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ jest iloczynem skalarnym w ${\displaystyle Y.}$

Macierzą tego przekształcenia jest macierz unitarna (lub macierz ortogonalna). Jeśli ${\displaystyle X=Y,}$ to przekształcenie to nazywa się operatorem unitarnym na ${\displaystyle X.}$ Każde przekształcenie unitarne jest izometrią. Pojęcie to odgrywa istotną rolę w teorii przestrzeni Hilberta (będącej przestrzenią unitarną).