Przestrzeń ściśle wypukła
Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana X o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni X ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.
Definicje równoważne
Niech X będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:
- X jest ściśle wypukła,
- jeżeli x ≠ y są elementatmi sfery jednostkowej przestrzeni X, to || x + y || < 2.
- jeżeli x ≠ y są elementatmi sfery jednostkowej przestrzeni X, to || αx + (1 − α)y || < 1 dla wszelkich 0 < α < 1.
- jeżeli x i y są niezerowymi elementatmi przestrzeni X oraz || x + y || = || x || + || y ||, to x = cy dla pewnej liczby c[1].
Przykłady
- Przestrzeń c0 nie jest ściśle wypukła, gdyż dla x = (1, 1, 0, 0, ...), y = (1, 0, 0, ...), || x + y || = 2 = || x || + || y ||, jednak x i y nie są liniowo zależne[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa K ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych C(K) nie jest ściśle wypukła[2].
- Dla p ∈ [1, ∞], przestrzeń ℓp (bądź Lp[0,1]) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy p ∈ (1, ∞). (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).
Przenormowania ściśle wypukłe
- Jeżeli Y jest przestrzenią ściśle wypukłą, a X jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy T: X → Y, to wzór || x ||T = || x || + || Tx || (x ∈ X) określa normę równoważną w X, która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha X można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy T: X → ℓ2.
- Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzelaczlnego Γ przestrzeń ℓ∞(Γ) wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na Γ nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni ℓ∞(Γ), złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w c0(Γ) istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG X istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy T: X → c0(Γ) dla pewnego zbioru Γ[4]. W konsekwnecji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
- Operator T: ℓ∞ → ℓ2 dany wzorem T(xn) = (xn · n-1) jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni ℓ∞ można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej ℓ∞ / c0 nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej[5].
Przypisy
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 432.
- ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 428.
- ↑ M. M. Day, Strict convexity and smoothness of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 78, 516–528 (1955).
- ↑ D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–64.
- ↑ J. Bourgain, ℓ∞ / c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math. Soc. 78 (1980), 225–226.
Bibliografia
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.