Przestrzeń Eberleina

Przestrzeń Eberleina (albo kompakt Eberleina) – zwarta przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna ze słabo zwartym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha. Ernest Michael i Mary Ellen Rudin udowodnili[1], że każda przestrzeń zwarta, którą można przedstawić jako sumę jej dwóch metryzowalnych podprzestrzeni jest przestrzenią Eberleina. Przestrzeń zwarta X jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór zwarty Y przestrzeni Cp(X), który rozdziela punkty (jako rodzina funkcji).

Własności

  • Każda przestrzeń Eberleina zawiera gęstą podprzestrzeń metryzowalną.
  • Liczba Suslina przestrzeni Eberleina jest równa jej wadze.
  • Nie istnieje ograniczenie górne dla mocy przestrzeni Eberleina - dla każdej liczby kardynalnej κ kula domknięta przestrzeni Hilberta ℓ2(κ) ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
  • Produkt przeliczalnie wielu przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina.
  • Obraz poprzez funkcję ciągła przestrzeni Eberleina jest przestrzenią Eberleina (w klasie przestrzeni Hausdorffa)[2].
  • Liniowo uporządkowane przestrzenie Eberleina są metryzowalne[3]
  • Każda przestrzeń metryzowalna jest homeomorficzna z podprzestrzenią pewnej przestrzeni Eberleina.
  • Każda przestrzeń Eberleina jest dziedzicznie σ-metazwarta[4]. Istvan Juhász, Zoltán Szentmiklóssy i Andrzej Szymański udowodnili, że własność ta charakteryzuje przestrzenie Eberleina w klasie przestrzeni o skończonym indeksie metryzowalności[5], to znaczy przestrzeni, które można przedstawić w postaci sumy skończenie wielu swoich podprzestrzeni metryzowalnych.
  • Przestrzeń zwarta Hausdorffa K jest przestrzenią Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Banacha C(K) jest typu WCG, tj. zawiera liniowo gęsty zbiór słabo zwarty[6].
  • Jeżeli K jest przestrzenią Eberleina to przestrzeń Banacha C(K) jest przestrzenią Lindelöfa w słabej topologii. Pol wykazał, że przeciwna implikacja nie zachodzi[7], rozwiązując tym problem Corsona[8].

Przykłady

  • Każda zwarta przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią Eberleina.
  • Uzwarcenie Aleksandrowa (jednopunktowe) przestrzeni dyskretnej jest przestrzenią Eberleina.
  • Podwojony okrąg Aleksandrowa jest przestrzenią Eberleina.
  • Kostka Hilberta [0,1]ω i kostka Cantora {0,1}ω są przestrzeniami Eberleina. Kostki [0,1]κ i {0,1}κ dla κ > ω nie są przestrzeniami Eberlaina ponieważ ich liczby Suslina są nieprzeliczalne.
  • Kula domknięta przestrzeni refleksywnej ze słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
  • Liczba porządkowa ω1 = [0, ω1] z topologią porządkową nie jest przestrzenią Eberleina.
  • Każda rozproszona przestrzeń Corsona jest przestrzenią Eberleina[9].

Przypisy

  1. ↑ E. Michael, M.E. Rudin, Another note on Eberlein compacts, Pacific Journal of Mathematics. 72, 2 (1977), ss. 497-499
  2. ↑ Y. Benyamini, M.E. Rudin, M. Wage, Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces, Pacific J. Math. 70 (1977), ss. 309–324
  3. ↑ H.R. Bennett, D.J. Lutzer, J.M. van Wouwe, Linearly ordered Eberlein compact spaces, Topology and its Applications, 12, Issue 1, (1981), 11–18.
  4. ↑ N. Yakovlev, On bicompacta in Σ-products and related spaces, Comment. Math. Univ. Carolin. 21, 2 (1980), ss. 263-283
  5. ↑ I. Juhász, Z. Szentmiklóssy, A. Szymański, Eberlein spaces of finite metrizability number, Comment. Math. Univ.Carolin. 48, 2 (2007) ss. 291-301
  6. ↑ J. Lindenstrauss, Weakly compact sets-their topological properties and the Banach spaces they generate, Ann. Math. Stud., Vol. 69, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1972), 235-273.
  7. ↑ R. Pol, A function space C(X) which is weakly Lindelöf but not weakly compactly generated, Studia Math. 64 (1979), 279-285.
  8. ↑ H. Corson, The weak topology of a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc., 101 (1961), 1-15.
  9. ↑ K. Alster, Some remarks on Eberlein compacts, Fund. Math. 104 (1979), 43-46.

Bibliografia

  • A.V. Arhangel'ski, Eberlein Compacta, In: K.P. Hart, Jun-iti Nagata, and J.E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier Science (August 16, 2004), ISBN 0-444-50355-2