Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń Frécheta – przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła, której topologia jest metryzowana przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę zupełną. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka Maurice’a Frécheta. Przestrzenie Frécheta są klasą przestrzeni rozszerzającą klasę przestrzeni Banacha^[1]. Każda przestrzeń Frécheta może zostać opisana jako granica odwrotna systemu przestrzeni Banacha.

Uwaga terminologiczna: Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości i przestrzenią Frécheta nazywają każdą metryzowalną w sposób zupełny przestrzeń liniowo-topologiczną (tzw. F-przestrzeń).

Równoważna definicja

Założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta implikuje, że topologia przestrzeni wyznaczona jest przez rodzinę półnorm. Przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez przeliczalną rodzinę półnorm, względem której jest ona zupełna. Dokładniej, przestrzeń liniowo-topologiczna (Hausdorffa) X jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy

• topologia przestrzeni X wyznaczona jest przez przeliczalną rodzinę półnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ (k = 0, 1, 2, ...), tzn. niepusty zbiór U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu ${\displaystyle u\in U}$ istnieje stała dodatnia K oraz ${\displaystyle \varepsilon >0}$ o tej własności, że

${\displaystyle \{v\in X\colon \|v-u\|_{k}<\varepsilon {\text{ dla wszystkich }}k\leqslant K\}}$

jest zawarty w U;

• jest zupełna ze względu na każdą z półnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ (k = 0, 1, 2, ...);
• jest przestrzenią Hausdorffa, co jest różnoważne temu, że

${\displaystyle \bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X\colon \|x\|_{k}=0\}=\{0\}.}$

W tym ujęciu można opisać zbieżność ciągów w przestrzeniach Frécheta: ciąg elementów (x_n) w przestrzeni Frécheta X jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|_{k}=0.}$

Przykłady

• Przestrzeń ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ funkcji ${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ nieskończenie razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy

${\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|\colon x\in [0,1]\}\qquad (k\in \mathbb {N} ).}$

W powyższym wzorze ƒ^(k) oznacza k-tą pochodną funkcji ƒ, przy czym ƒ⁽⁰⁾ = ƒ. W tej przestrzeni, ciąg funkcji ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny do pewnej funkcji ${\displaystyle f,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle k\geqslant 0,}$ ciąg ${\displaystyle (f_{n}^{(k)})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny jednostajnie do ${\displaystyle f^{(k)}.}$

• Przestrzeń ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ nieskończenie wiele razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy:

${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|\colon x\in [-n,n]\}\qquad (k,n\geqslant 0).}$

Ciąg funkcji w tej przestrzeni jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tj. jest zbieżny jednostajnie po zacieśnieniu do każdego zwartego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.

• Przestrzeń ${\displaystyle C^{m}(\mathbb {R} )}$ funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy

${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|\colon x\in [-n,n]\}\qquad (n\geqslant 0,k=1,\dots ,m).}$

Przypisy

Bibliografia

• Jürgen Voigt, A Course on Topological Vector Spaces, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser (2020). ISBN 978-3-030-32945-7.