Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń Fréchetaprzestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła, której topologia jest metryzowana przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę zupełną. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka Maurice’a Frécheta. Przestrzenie Frécheta są klasą przestrzeni rozszerzającą klasę przestrzeni Banacha[1]. Każda przestrzeń Frécheta może zostać opisana jako granica odwrotna systemu przestrzeni Banacha.

Uwaga terminologiczna: Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości i przestrzenią Frécheta nazywają każdą metryzowalną w sposób zupełny przestrzeń liniowo-topologiczną (tzw. F-przestrzeń).

Równoważna definicja

Założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta implikuje, że topologia przestrzeni wyznaczona jest przez rodzinę półnorm. Przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez przeliczalną rodzinę półnorm, względem której jest ona zupełna. Dokładniej, przestrzeń liniowo-topologiczna (Hausdorffa) X jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy

  • topologia przestrzeni X wyznaczona jest przez przeliczalną rodzinę półnorm (k = 0, 1, 2, ...), tzn. niepusty zbiór U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu istnieje stała dodatnia K oraz o tej własności, że
jest zawarty w U;
  • jest zupełna ze względu na każdą z półnorm (k = 0, 1, 2, ...);
  • jest przestrzenią Hausdorffa, co jest różnoważne temu, że

W tym ujęciu można opisać zbieżność ciągów w przestrzeniach Frécheta: ciąg elementów (xn) w przestrzeni Frécheta X jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k:

Przykłady

  • Przestrzeń funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
W powyższym wzorze ƒ(k) oznacza k-tą pochodną funkcji ƒ, przy czym ƒ(0) = ƒ. W tej przestrzeni, ciąg funkcji jest zbieżny do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciąg jest zbieżny jednostajnie do
  • Przestrzeń funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy:
Ciąg funkcji w tej przestrzeni jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tj. jest zbieżny jednostajnie po zacieśnieniu do każdego zwartego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
  • Przestrzeń funkcji -krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy

Przypisy

  1. przestrzeń Frécheta, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].

Bibliografia

  • Jürgen Voigt, A Course on Topological Vector Spaces, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser (2020). ISBN 978-3-030-32945-7.