Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewaprzestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni Lp, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do Lp[1]. Przestrzenie Sobolewa są stosowane w teorii równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wariacyjnym[1].

Konstrukcja

Niech i będą ustalonymi liczbami naturalnymi, będzie liczbą z przedziału oraz będzie otwartym podzbiorem Przestrzenią Sobolewa nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji dla których gdzie jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

oraz symbol oznacza słabą pochodną funkcji rzędu

Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

w przypadku oraz:

w przypadku

Własności

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od tzn.

oraz Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą

Przestrzeń sprzężona jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji na dla których

dla pewnego oraz jest wykładnikiem sprzężonym do Ponadto,

gdzie kres brany jest po wszystkich dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni dla Przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

wyposażonej w normę

tzn.

gdzie jest wykładnikiem sprzężonym do

Przypisy

  1. a b przestrzenie Sobolewa, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-02-18].

Bibliografia