Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L^p, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L^p[1]. Przestrzenie Sobolewa są stosowane w teorii równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wariacyjnym^[1].

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n}$ będą ustalonymi liczbami naturalnymi, ${\displaystyle p}$ będzie liczbą z przedziału ${\displaystyle [1,\infty )}$ oraz ${\displaystyle \Omega }$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Przestrzenią Sobolewa ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$ nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji ${\displaystyle u\in L^{p}(\Omega ),}$ dla których ${\displaystyle D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega ),}$ gdzie ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\leqslant m,}$

oraz symbol ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ oznacza słabą pochodną funkcji ${\displaystyle u}$ rzędu ${\displaystyle \alpha .}$

Przestrzeń ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$ jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}}^{p})^{\frac {1}{p}},}$

w przypadku ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ oraz:

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }}}$

w przypadku ${\displaystyle p=\infty .}$

Własności

• ${\displaystyle W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega ).}$
• Przestrzeń ${\displaystyle H^{m}(\Omega ):=W^{m,2}(\Omega )}$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{m}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\langle D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\rangle _{L^{2}}.}$

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na ${\displaystyle \Omega }$ (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech ${\displaystyle N}$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od ${\displaystyle m,}$ tzn.

${\displaystyle N=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ 1,}$

oraz ${\displaystyle L_{N}^{p}=L^{p}(\Omega )\times \ldots \times L^{p}(\Omega ).}$ Przestrzeń ${\displaystyle L_{N}^{p}}$ jest przestrzenią Banacha z normą

${\displaystyle \|(u_{1},\dots ,u_{N})\|=\left(\sum _{j=1}^{N}(\|u_{j}\|_{L^{p}})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Przestrzeń sprzężona ${\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji ${\displaystyle T}$ na ${\displaystyle \Omega ,}$ dla których

${\displaystyle T=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ (-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }T_{v_{\alpha }},}$

dla pewnego ${\displaystyle v=(v_{\alpha })_{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\in L_{N}^{q}}$ oraz ${\displaystyle q}$ jest wykładnikiem sprzężonym do ${\displaystyle p.}$ Ponadto,

${\displaystyle \|T\|_{Y}=\inf \|v\|_{L_{N}^{q}},}$

gdzie kres brany jest po wszystkich ${\displaystyle v\in L_{N}^{q},}$ dla których ${\displaystyle T}$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni ${\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}$ dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty {:}}$ Przestrzeń ${\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}}$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

${\displaystyle L^{q}(\Omega ):=L_{\sim }^{q}}$

wyposażonej w normę

${\displaystyle \|v\|_{L_{\sim }^{q}}=\sup\{\langle u,v\rangle \colon \,u\in W^{m,p}(\Omega ),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leqslant 1\},}$

tzn.

${\displaystyle (W^{m,p}(\Omega ))^{*}={\overline {L_{\sim }^{q}}}}$

gdzie ${\displaystyle q}$ jest wykładnikiem sprzężonym do ${\displaystyle p.}$

Przypisy

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.