Przestrzeń T4

Przestrzeń normalna i przestrzeń T₄ to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych ${\displaystyle E,F\subseteq X}$ można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte ${\displaystyle U,V\subseteq X}$ że

${\displaystyle E\subseteq U}$ i ${\displaystyle F\subseteq V.}$

Zbiory domknięte ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle F,}$ przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V,}$ przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte ${\displaystyle E,F}$ są rozdzielone przez otoczenia otwarte ${\displaystyle U,V.}$

Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią normalną (albo ${\displaystyle T_{4}}$) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₁ w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T₄ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

• przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T₄.

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

• bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T₄ jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

• Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
• Płaszczyzna Niemyckiego jest przykładem przestrzeni Tichonowa, która nie jest normalna.
• Jeśli CH jest prawdziwa i ${\displaystyle p\in \beta {\mathbb {N} }\setminus {\mathbb {N} },}$ to

${\displaystyle (\beta {\mathbb {N} }\setminus {\mathbb {N} })\setminus \{p\}}$

nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie ${\displaystyle \beta {\mathbb {N} }}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {N} }$ liczb naturalnych.

Własności

• Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa. Zachodzi nawet mocniejszy lemat Urysohna:

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią normalną i ${\displaystyle E,F\subseteq X}$ są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła

${\displaystyle F:X\longrightarrow [0,1]}$

że ${\displaystyle f(x)=0}$ dla ${\displaystyle x\in E}$ oraz ${\displaystyle f(x)=1}$ dla ${\displaystyle x\in F.}$

• Zachodzi również następujące twierdzenie Tietzego-Urysohna:

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią normalną, ${\displaystyle F\subseteq X}$ jest jej podzbiorem domkniętym i

${\displaystyle f:F\longrightarrow {\mathbb {R} }}$

jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła

${\displaystyle g:X\longrightarrow {\mathbb {R} }}$

przedłużająca ${\displaystyle f}$ (tzn. ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in F}$).

• Żadna ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej dyskretnej podprzestrzeni mocy continuum.
• Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią normalną.
• Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność być przestrzenią normalną nie jest własnością dziedziczną). Także iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni ${\displaystyle T_{4}}$ nie musi być przestrzenią ${\displaystyle T_{4}.}$
• Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii.

Produkty przestrzeni normalnych

Prosta Sorgenfreya ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat ${\displaystyle X\times X}$ nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną^[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt ${\displaystyle {\omega _{2}}^{\omega _{1}}}$ jest przestrzenią normalną.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń Tichonowa ${\displaystyle (T_{3{^{1}\!/_{2}}}\!)}$
• przestrzeń dziedzicznie normalna ${\displaystyle (T_{5})}$

Przypisy