Przestrzeń WCG

Przestrzeń WCG (ang. weakly compactly generated space; przestrzeń generowana przez zbiór słabo zwarty) – przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ zawierająca słabo zwarty podzbiór ${\displaystyle K}$ o tej własności, że podprzestrzeń liniowa generowana przez ten zbiór jest gęsta w ${\displaystyle X}$ (innymi słowy ${\displaystyle K}$ jest słabo zwarty i liniowo gęsty), tj.

${\displaystyle X={\overline {{\mbox{span}}\,K}}}$^[1].

Pojęcie przestrzeni WCG, wprowadzone w 1968 roku przez D. Amira i J. Lindenstraussa^[2], uogólnia jednocześnie pojęcia ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz przestrzeni refleksywnej.

Przykłady

• Gdy ${\displaystyle X}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz ${\displaystyle \{x_{n}:n=1,2,\dots \}}$ jest gęstym podzbiorem jej kuli jednostkowej, to

${\displaystyle K=\{{\tfrac {1}{n}}x_{n}\colon n=1,2,\dots \}\cup \{0\}}$

jest słabo zwarty oraz liniowo gęsty w ${\displaystyle X}$ (tj. generuje ${\displaystyle X}$)^[3].

• W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest refleksywna, domknięta kula jednostkowa ${\displaystyle B_{X}}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest słabo zwarta^[3]. Ponieważ ${\displaystyle X=\operatorname {span} B_{X},}$ każda przestrzeń refleksywna jest WCG.
• Dla dowolnej przestrzeni z miarą σ-skończoną ${\displaystyle (\Omega ,\mu ),}$ przestrzeń L₁ (μ) jest WCG. Istotnie, niech ${\displaystyle \{A_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$ będzie rozbiciem ${\displaystyle \Omega }$ na parami rozłączne zbiory ${\displaystyle \mu }$-mierzalne dla których ${\displaystyle 0<\mu (A_{n})<\infty }$ dla każdego ${\displaystyle n.}$ Niech ${\displaystyle f\colon \Omega \to [0,1]}$ będzie funkcją daną wzorem ${\displaystyle f(x)=(\mu (A_{n})\cdot 2^{n})^{-1}}$ gdy ${\displaystyle x\in A_{n}}$ dla pewnego ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ Funkcja ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle \mu }$-mierzalna oraz ${\displaystyle \int _{\Omega }f\mathrm {d} \mu =1.}$ Miara ${\displaystyle \mathrm {d} \nu =f\mathrm {d} \mu }$ jest miarą probabilistyczną oraz przestrzenie Banacha ${\displaystyle L_{1}(\mu )}$ i ${\displaystyle L_{1}(\nu )}$ są liniowo izometryczne poprzez odwzorowanie ${\displaystyle T\colon L_{1}(\mu )\to L_{1}(\nu )}$ dane wzorem ${\displaystyle Tg=g/f(g\in L_{1}(\mu )).}$

Wystarczy zatem pokazać, że przestrzeń ${\displaystyle L_{1}(\nu )}$ jest WCG. Ponieważ miara ${\displaystyle \nu }$ jest skończona, z nierówności Höldera wynika istnienie inkluzji przestrzeni Hilberta ${\displaystyle L_{2}(\nu )}$ w ${\displaystyle L_{1}(\nu ).}$ W szczególności, operator inkluzji ${\displaystyle J\colon L_{2}(\nu )\to L_{1}(\nu )}$ jest różnowartościowy i ma gęsty obraz. Ponieważ kula przestrzeni ${\displaystyle L_{2}(\nu )}$ jest słabo zwarta, operator ${\displaystyle J}$ jest ograniczony (a więc ${\displaystyle J}$ jest również ciągły jako operator między przestrzeniami ${\displaystyle L_{2}(\nu )}$ a ${\displaystyle L_{1}(\nu )}$ wyposażonymi w słabe topologie), obraz kuli ${\displaystyle L_{2}(\nu )}$ poprzez ${\displaystyle J}$ jest słabo zwarty w ${\displaystyle L_{1}(\nu )}$ i liniowo gęsty, a więc ${\displaystyle L_{1}(\nu )}$ jest WCG.

• Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle \Gamma }$ przestrzeń c₀ (Γ) z normą supremum jest WCG. Ponadto, każda jej domknięta podprzestrzeń jest również WCG^[4].
• Przestrzeń funkcji ciągłych ${\displaystyle C(K)}$ na przestrzeni zwartej Hausdorffa ${\displaystyle K}$ jest WCG wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią Eberleina.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Johnsona-Lindenstraussa jest izomorficzna z ${\displaystyle \ell _{1}\oplus \ell _{2}(c),}$ która jest WCG jako suma przestrzeni ośrodkowej i refleksywnej, podczas gdy sama przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa nie jest WCG.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest WCG, to domknięta kula jednostkowa jej przestrzeni sprzężonej z *-słabą topologią jest przestrzenią Eberleina.
• Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej do podprzestrzeni przestrzeni WCG jest ciągowo zwarta w *-słabej topologii^[5].
• Przestrzeń WCG ze słabą topologią jest przestrzenią Lindelöfa^[6].
• Przeliczalne ${\displaystyle \ell _{1}}$-sumy oraz dowolne ${\displaystyle \ell _{p}}$-sumy ${\displaystyle (p\in (1,\infty ))}$ i dowolne ${\displaystyle c_{0}}$-sumy rodzin przestrzeni typu WCG są WCG.

Dowód. Niech ${\displaystyle (E_{i})}$ będzie rodziną przestrzeni typu WCG oraz niech ${\displaystyle K_{i}}$ będzie zbiorem słabo zwartym generującym ${\displaystyle E_{i}.}$ Bez straty ogólności można założyć, że dla każdego ${\displaystyle i}$ zbiór ${\displaystyle K_{i}}$ jest zbalansowany, tj. ${\displaystyle \lambda K_{i}\subseteq K_{i},}$ gdy ${\displaystyle |\lambda |\leqslant 1.}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle p\in (1,\infty ),}$ to zbiór

${\displaystyle \textstyle \{f\in \left(\bigoplus _{i}E_{i}\right)_{\ell _{p}}\colon f(i)\in K_{i},\|f\|\leqslant 1\}}$

jest słabo zwarty oraz generuje sumę ${\displaystyle (\oplus _{i}E_{i})_{\ell _{p}}.}$ Ponieważ formalna identyczność id: ${\displaystyle (\oplus _{i}E_{i})_{\ell _{2}}\to (\oplus _{i}E_{i})_{c_{0}}}$ jest ciągła oraz ma gęsty obraz, przestrzeń ${\displaystyle (\oplus _{i}E_{i})_{c_{0}}}$ jest również WCG, gdy każdy składnik ${\displaystyle E_{i}}$ jest WCG. Gdy ${\displaystyle (E_{n})}$ jest ciągiem przestrzeni typu WCG (przestrzeń ${\displaystyle E_{n}}$ generowana jest przez zbiór słabo zwarty ${\displaystyle K_{n}}$), to zbiór

${\displaystyle \textstyle \{f\in \left(\bigoplus _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)_{\ell _{1}}\colon f(n)\in K_{n},\|f(n)\|\leqslant {\tfrac {1}{n^{2}}}\}}$

jest słabo zwarty oraz generuje ${\displaystyle (\oplus _{n}E_{n})_{\ell _{1}}.}$ □

Problem dziedziczności własności WCG na podprzestrzenie

Domknięta podprzestrzeń przestrzeni WCG ${\displaystyle X}$ nie musi być przestrzenią WCG^[7] nawet w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ ma bezwarunkową bazę Schaudera bądź druga przestrzeń sprzężona ${\displaystyle X^{**}}$ jest WCG^[8]. Jeżeli jednak zarówno przestrzenie ${\displaystyle X^{*}}$ i ${\displaystyle X^{**}}$ są WCG, to ${\displaystyle X}$ jest również WCG^[9].

Algebry Banacha a własność WCG

W przypadku gdy ${\displaystyle A}$ jest C*-algebrą, następujące własności są równoważne:

1. ${\displaystyle A^{*}}$ jest WCG,
2. ${\displaystyle A}$ jest ośrodkowa oraz ${\displaystyle A^{*}}$ ma własność Radona-Nikodýma,
3. ${\displaystyle A^{*}}$ jest ośrodkowa.

Gdy ${\displaystyle G}$ jest lokalnie zwarta przestrzenią Hausdorffa, to następujące warunki są równoważne:

1. algebra Fouriera ${\displaystyle A(G)}$ jest WCG,
2. przestrzeń ${\displaystyle C_{0}(G)}$ jest WCG,
3. ${\displaystyle G}$ spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności^[10].

Przypisy

Bibliografia

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.