Przestrzeń c0

Przestrzeń c0przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do 0 z normą supremum, to znaczy

Przestrzeń może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych , a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

  • Przestrzeń jest ośrodkową przestrzenią Banacha.
  • Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów które na -tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni
Dowód. Niech oraz dla każdego niech Mamy
ponieważ ciąg jest zbieżny do 0. Oznacza to, że
Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne jest istotnie bazą Schaudera w Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów spełniających warunek dla każdego zachodzi
Oznacza to, że jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.
  • Domknięta kula jednostkowa przestrzeni nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Krejna-Milmana wynika, że nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną. W szczególności, przestrzeń nie jest refleksywna.
  • Indeks Szlenka przestrzeni wynosi
  • Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią
  • Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha która jest izomorficzna z jest komplementarna w tj. istnieje ograniczony rzut z na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z przestrzeni nie jest komplementarna.
  • Przestrzeń jest izomorficzna z przestrzenią wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm dany wzorem Przestrzeń jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.

Dualność

  • Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni utożsamia się w sposób izometryczny z przestrzenią 1. Dualność ta wyznaczona jest przez związek
Dowód. Ciąg elementów przestrzeni danych wzorami
jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego ciągu granica istnieje i równa się Ciąg nie jest jednak słabo zbieżny.

Operatory o wartościach w c0

Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe są we wzajemnej odpowiedniości z ciągiami w przestrzeni sprzężonej które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg w jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym oznacza kanoniczną bazę utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do Z drugiej strony, jeżeli jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator dany wzorem gdzie jest liniowy i ograniczony.

Uogólnienie

Dla dowolnego zbioru można zdefiniować przestrzeń

wyposażona w normę supremum jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru przestrzeń ta jest typu WCG oraz

Gdy zbiór jest przeliczalny przestrzeń ta jest izometrycznie izomorficzna z klasyczną przestrzenią

Przestrzeń c0 a przestrzenie sprzężone

Przestrzeń nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.

Dowód. Przestrzeń Banacha która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej jest komplementarna w gdzie utożsamia się z kanonicznym włożeniem w Gdyby zatem przestrzeń była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka[1][2] mówiącemu, że nie jest komplementarne w

Bessaga i Pełczyński udowodnili w 1958[3] następujące twierdzenie mówiące, że

Jeżeli przestrzeń jest izomorficzna z podprzestrzenią dla pewnej przestrzeni to zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ1. W szczególności, zawiera podprzestrzeń izomorficzną z

Szkic dowodu. Niech będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony jest suriektywny. Niech ponadto oraz niech oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora Zachodzi więc

Stąd
Z suriektywności operatora wynika, że istnieje oraz ciąg funkcjonałów w o tej własności, że
gdzie oznacza bazę kanoniczną w Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że zbiór · jest *-słabo gęsty w a więc istnieje taki ciąg w że
oraz
przy czym funkcjonały wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie Zachodzi również
Wynika stąd, że pierwszych -1 współrzędnych jest małych w porównaniu do -tej współrzędnej. Z ciągu można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ1, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z Niech oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez w Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą że
Oznacza to, że operator zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez jest odwracalny oraz operator jest rzutowaniem na podprzestrzeń w izomorficzną z co kończy dowód.

Przypisy

  1. R.S. Phillips, On linear transformations, „Trans. Amer. Math. Soc.”, 48 (1940), s. 516–541.
  2. A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 47 (1941), s. 938–947.
  3. C. Bessaga and A. Pełczyński, On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces, „Studia Math”. 17 (1958), s. 151–164.

Bibliografia