Przestrzeń c₀

Przestrzeń c₀ – przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych ${\displaystyle (\xi _{k})}$ zbieżnych do 0 z normą supremum, to znaczy

${\displaystyle \|(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\xi _{k}|.}$

Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych ℓ_∞, a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

• Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha.
• Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów ${\displaystyle (e_{n}),}$ które na ${\displaystyle n}$-tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni ${\displaystyle c_{0}.}$

Dowód. Niech ${\displaystyle x=(\xi _{k})\in c_{0}}$ oraz dla każdego ${\displaystyle n}$ niech ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}e_{1}+\ldots +\xi _{n}e_{n}.}$ Mamy

${\displaystyle \|x-S_{n}\|=\|(0,0,\dots ,0,\xi _{n+1},\xi _{n+2},\xi _{n+2},\dots )\|=\sup _{k\geqslant n+1}|\xi _{k}|\to 0}$

ponieważ ciąg ${\displaystyle (\xi _{k})}$ jest zbieżny do 0. Oznacza to, że

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}e_{k}.}$

Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne ${\displaystyle (e_{n})}$ jest istotnie bazą Schaudera w ${\displaystyle c_{0}.}$ Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów ${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$ spełniających warunek ${\displaystyle |\varepsilon _{k}|=1}$ dla każdego ${\displaystyle k}$ zachodzi

${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }|\varepsilon _{k}\xi _{k}|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\varepsilon _{k}|\,|\xi _{k}|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\xi _{k}|=\|x\|.}$

Oznacza to, że ${\displaystyle (e_{n})}$ jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.

• Domknięta kula jednostkowa przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Krejna-Milmana wynika, że ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną. W szczególności, przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest refleksywna.
• Indeks Szlenka przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ wynosi ${\displaystyle \omega .}$
• Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ${\displaystyle c_{0}.}$
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha ${\displaystyle X,}$ która jest izomorficzna z ${\displaystyle c_{0}}$ jest komplementarna w ${\displaystyle X,}$ tj. istnieje ograniczony rzut z ${\displaystyle X}$ na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z ${\displaystyle c_{0}}$ przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ nie jest komplementarna.
• Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle c}$ wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm ${\displaystyle T\colon c\to c_{0}}$ dany wzorem ${\displaystyle T(a)=a-\lim a.}$ Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.

Dualność

• Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ utożsamia się w sposób izometryczny z przestrzenią ℓ₁. Dualność ta wyznaczona jest przez związek

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}\;\;\;{\big (}x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0},\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}{\big )}.}$

• Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Ciąg ${\displaystyle (u_{n})}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ danych wzorami

${\displaystyle u_{n}=(\underbrace {1,1,\dots ,1} _{n},0,0,\dots )}$

jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego ciągu ${\displaystyle y=(y_{n})\in \ell _{1}}$ granica ${\displaystyle \lim \langle u_{n},y\rangle }$ istnieje i równa się ${\displaystyle \Sigma _{n}y_{n}.}$ Ciąg ${\displaystyle (u_{n})}$ nie jest jednak słabo zbieżny.

Operatory o wartościach w c₀

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe ${\displaystyle T\colon X\to c_{0}}$ są we wzajemnej odpowiedniości z ciągiami ${\displaystyle (f_{n})}$ w przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*},}$ które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli ${\displaystyle T\colon X\to c_{0}}$ jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg ${\displaystyle (T^{*}e_{n}^{*})}$ w ${\displaystyle X^{*}}$ jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym ${\displaystyle (e_{n}^{*})}$ oznacza kanoniczną bazę ${\displaystyle \ell _{1}}$ utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do ${\displaystyle c_{0}.}$ Z drugiej strony, jeżeli ${\displaystyle (f_{n})}$ jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator ${\displaystyle T\colon X\to c_{0}}$ dany wzorem ${\displaystyle Tx=\langle x,f_{n}\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle x\in X,}$ jest liniowy i ograniczony.

Uogólnienie

Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle \Gamma }$ można zdefiniować przestrzeń

${\displaystyle c_{0}(\Gamma )={\big \{}f\colon \Gamma \to \mathbb {C} \colon {\mbox{dla każdego }}\varepsilon >0{\mbox{ zbiór }}\{s\in \Gamma \colon |f(s)|\geqslant \varepsilon \}{\mbox{ jest skończony}}{\big \}},}$

wyposażona w normę supremum jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru ${\displaystyle \Gamma }$ przestrzeń ta jest typu WCG oraz

${\displaystyle c_{0}(\Gamma )^{*}\cong \ell _{1}(\Gamma ).}$

Gdy zbiór ${\displaystyle \Gamma }$ jest przeliczalny przestrzeń ta jest izometrycznie izomorficzna z klasyczną przestrzenią ${\displaystyle c_{0}.}$

Przestrzeń c₀ a przestrzenie sprzężone

Przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.

Dowód. Przestrzeń Banacha ${\displaystyle E,}$ która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle F^{*}}$ jest komplementarna w ${\displaystyle E^{**},}$ gdzie ${\displaystyle E}$ utożsamia się z kanonicznym włożeniem w ${\displaystyle E^{**}.}$ Gdyby zatem przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną ${\displaystyle F^{*},}$ przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka^[1][2] mówiącemu, że ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest komplementarne w ${\displaystyle c_{0}^{**}\cong \ell _{\infty }.}$

Bessaga i Pełczyński udowodnili w 1958^[3] następujące twierdzenie mówiące, że

Jeżeli przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest izomorficzna z podprzestrzenią ${\displaystyle Y^{*}}$ dla pewnej przestrzeni ${\displaystyle Y,}$ to ${\displaystyle Y}$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ₁. W szczególności, ${\displaystyle Y^{*}}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$

Szkic dowodu. Niech ${\displaystyle T\colon c_{0}\to Y^{*}}$ będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony ${\displaystyle T^{*}\colon Y^{**}\to \ell _{1}}$ jest suriektywny. Niech ponadto ${\displaystyle S=T^{*}|_{Y}}$ oraz niech ${\displaystyle (e_{n})}$ oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora ${\displaystyle T.}$ Zachodzi więc

${\displaystyle \langle e_{n},Sy\rangle =\langle Te_{n},y\rangle \;\;\;(y\in Y,\,n\in \mathbb {N} ).}$

Stąd

${\displaystyle Sy=(\langle e_{1},Sy\rangle ,\langle e_{2},Sy\rangle ,\dots )=(\langle Te_{1},y\rangle ,\langle Te_{2},y\rangle ,\dots )\;\;(y\in Y).}$

Z suriektywności operatora ${\displaystyle T^{*}}$ wynika, że istnieje ${\displaystyle K>0}$ oraz ciąg funkcjonałów ${\displaystyle (y_{n}^{**})}$ w ${\displaystyle Y^{**}}$ o tej własności, że

${\displaystyle \|y_{n}^{**}\|\leqslant K,\;\;T^{*}(y_{n}^{**})=e_{n}^{*},}$

gdzie ${\displaystyle (e_{n})}$ oznacza bazę kanoniczną w ${\displaystyle \ell _{1}.}$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że zbiór ${\displaystyle K}$· ${\displaystyle B_{Y}}$ jest *-słabo gęsty w ${\displaystyle K\cdot B_{Y^{**}},}$ a więc istnieje taki ciąg ${\displaystyle (y_{n})}$ w ${\displaystyle Y,}$ że

${\displaystyle \|y_{n}\|\leqslant K\;\;(n\in \mathbb {N} )}$

oraz

${\displaystyle |\langle Te_{n},y_{n}\rangle -1|<{\tfrac {1}{n}},\,\,\,\sum _{k=1}^{n-1}|\langle Te_{k},y_{n}\rangle |<{\tfrac {1}{n}},}$

przy czym funkcjonały ${\displaystyle Te_{1},\dots ,Te_{n}}$ wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie ${\displaystyle y_{n}^{**}.}$ Zachodzi również

${\displaystyle \langle y_{n}^{**},Te_{k}\rangle =\langle e_{n}^{*},e_{k}\rangle =\delta _{nk}.}$

Wynika stąd, że pierwszych ${\displaystyle n}$-1 współrzędnych ${\displaystyle Sy_{n}}$ jest małych w porównaniu do ${\displaystyle n}$-tej współrzędnej. Z ciągu ${\displaystyle Sy_{n}}$ można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ₁, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z ${\displaystyle \ell _{1}.}$ Niech ${\displaystyle P}$ oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez ${\displaystyle Sy_{n}}$ w ${\displaystyle \ell _{1}.}$ Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą ${\displaystyle M>0,}$ że

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}y_{k}\right\|\leqslant K\sum _{k=1}^{n}|a_{n}|\leqslant KM\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}Sy_{k}\right\|_{\ell _{1}}\leqslant KM\|S\|\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}y_{k}\right\|.}$

Oznacza to, że operator ${\displaystyle S}$ zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez ${\displaystyle (y_{n})}$ jest odwracalny oraz operator ${\displaystyle Q=S^{-1}PS}$ jest rzutowaniem na podprzestrzeń w ${\displaystyle Y}$ izomorficzną z ${\displaystyle \ell _{1},}$ co kończy dowód.

Przypisy

Bibliografia

• G. Godefroy, The Banach space c₀, „Extracta Mathematicae”, 2001, 16, 1–25.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 .
• J. Musielak Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.