Przestrzeń ccc

Przestrzeń ccc (albo: p. spełniająca warunek przeliczalnych antyłańcuchów, p. o własności Suslina) – przestrzeń topologiczna, w której każda rodzina zbiorów otwartych parami rozłącznych jest przeliczalna.

ccc a ośrodkowość

Każda przestrzeń ośrodkowa jest ccc. Istotnie, jeżeli D jest gęstym przeliczalnym podzbiorem przestrzeni X oraz jest rodziną niepustych rozłącznych i otwartych podzbiorów X, to z gęstości zbioru D istnieje funkcja różnowartościowa przyporządkowująca każdemu punktowi zbioru D element rodziny (każdy niepusty zbiór otwarty zawiera pewien punkt zbioru D). Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe - istnieje przestrzeń ccc, która nie jest ośrodkowa. Przykładem może być

z topologią produktową[1]. Twierdzenie Hewitta-Marczewskiego-Pondiczeriego mówi, w szczególności, że produkt mniej niż continuum przestrzeni ośrodkowych jest przestrzenią ośrodkową. Odpowiedź na pytanie o to, czy produkt dwóch przestrzeni ccc jest nadal ccc, jest niezależne od aksjomatyki ZFC.

Produkt przestrzeni ccc

  • Pod założeniem negacji hipotezy continuum i aksjomatu Martina produkt dowolnej rodziny przestrzeni ccc jest ccc.
  • Pod założeniem hipotezy continuum istnieją przestrzenie ccc X i Y takie, że X × Y nie jest ccc[2].
    • Korzystając z konstrukcji przestrzeni Gleasona, można udowodnić na podstawie powyższego, że pod założeniem hipotezy continuum istnieje przestrzeń ccc, która jest zwarta, Hausdorffa, ekstremalnie niespójna X taka, że X × X nie jest ccc.

Hipoteza Suslina

Przypisy

  1. ↑ K. Kunen, Set theory, An introduction to independence proofs. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 102, North-Holland Publishing Company, 1980. s.51.
  2. ↑ F. Galvin: Chain conditions and products. Fundamenta Mathematicae 108 (1980) ss.33-42.

Bibliografia