Przestrzeń funkcyjna

Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y,}$ z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle F,}$ zaś ${\displaystyle X}$ – pewnym zbiorem. Rozważmy zbiór funkcji ${\displaystyle \{f\colon X\to V\}}$wówczas przestrzenią funkcyjną liniową nad ciałem ${\displaystyle F}$nazywamy uporządkowaną czwórkę ${\displaystyle (\{f\colon X\to V\},F,+,\cdot )}$ gdzie działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:

(1.1) Sumą funkcji ${\displaystyle f,g\colon X\to V}$nazywa się funkcję ${\displaystyle h\colon X\to V}$ taką, że dla dowolnych ${\displaystyle x\in X}$ spełniona jest zależność

${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle h=f+g}$

(1.2) Iloczynem funkcji ${\displaystyle f\colon X\to V}$ przez skalar ${\displaystyle c\in F}$ nazywa się funkcję ${\displaystyle h\colon X\to V}$ taką, że dla dowolnych ${\displaystyle x\in X}$ spełniona jest zależność

${\displaystyle h(x)=c\cdot f(x)}$

Wtedy pisze się ${\displaystyle h=c\cdot f}$

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. Baza

(2.1) Funkcje ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2.2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana

(3.1) Zbiór ${\displaystyle C[0,1]}$ wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym ${\displaystyle [0,1]}$ nad ciałem liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniami dodawania funkcji (1.1) oraz mnożenia funkcji przez skalar (1.2).

(3.2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze ${\displaystyle [0,1],}$ tj. ${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,f_{n}(x)=x^{n},\;n\in \mathbb {N} .}$

(3.3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

(3.4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x){\big |},}$

co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku ${\displaystyle [a,b].}$

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(3.5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

${\displaystyle \|f-g\|:=\sup _{x\in [a,b]}{\big |}f(x)-g(x){\big |}.}$

(3.6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

${\displaystyle \langle f|g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)^{-1}\cdot g(x)\,\,dx.}$

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje ${\displaystyle f_{n},f_{m}}$ są ortogonalne, jeżeli ${\displaystyle n\neq m,}$ gdyż

${\displaystyle \langle f_{n}|f_{m}\rangle =\int _{0}^{1}f_{n}(x)^{-1}\cdot f_{m}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}x^{m-n}(x)\,\,dx,}$

skąd

${\displaystyle \langle f_{n}|f_{n}\rangle =\int _{0}^{1}x^{0}(x)\,\,dx=\int _{0}^{1}1\,\,dx=1}$

oraz

${\displaystyle \langle f_{n}|f_{m}\rangle ={\frac {1}{m-n+1}}x^{m-n+1}{\Big |}_{0}^{1}={\frac {1}{m-n+1}}(1^{m-n+1}-0^{m-n+1}),}$

pod warunkiem, że przyjmie się ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

• W teorii mnogości zbiór ${\displaystyle Y^{X}}$ funkcji zbioru ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle Y}$ oznacza się także niekiedy symbolem ${\displaystyle X\to Y.}$
• Jako przypadek szczególny, zbiór potęgowy ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ zbioru ${\displaystyle X}$ może być utożamiany ze zbiorem funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle \{0,1\};}$ z tego powodu oznacza się też go symbolem ${\displaystyle 2^{X}.}$
• Zbiór bijekcji z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle Y}$ bywa oznaczany ${\displaystyle X\leftrightarrow Y.}$ Istnieje także notacja silni ${\displaystyle X!}$ oznaczająca permutacje zbioru ${\displaystyle X.}$
• W algebrze liniowej zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ w inną przestrzeń liniową ${\displaystyle W}$ nad tym samym ciałem sam jest przestrzenią liniową.
• W analizie funkcjonalnej to samo obserwuje się dla ciągłych przekształceń liniowych, biorąc pod uwagę topologie na przestrzeniach liniowych z powyższego przykładu, jak również wiele innych ważnych przykładów obejmuje przestrzenie funkcyjne wyposażone w topologie; najbardziej znanymi przykładami są m.in. przestrzenie Hilberta i przestrzenie Banacha.
• W analizie funkcjonalnej zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w pewien zbiór ${\displaystyle X}$ nazywa się przestrzenią ciągową; składa się ona ze zbioru wszystkich możliwych ciągów elementów zbioru ${\displaystyle X.}$
• W topologii można próbować ustalić topologię na przestrzeni funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ w inną przestrzeń topologiczną ${\displaystyle Y,}$ których przydatność zależy od natury tych przestrzeni. Powszechnie używanym przykładem jest topologia zwarto-otwarta, np. przestrzeń pętli. Innym jest topologia produktowa określona na przestrzeni funkcji (niekoniecznie ciągłych) ${\displaystyle Y^{X}.}$ W tym kontekście topologię tę nazywa się także topologią zbieżności punktowej.
• W topologii algebraicznej teoria homotopii zajmuje się w istocie badaniem dyskretnych niezmienników przestrzeni funkcyjnych.
• W teorii procesów stochastycznych podstawowym problemem technicznym jest skonstruowanie miary probabilistycznej na przestrzeni funkcyjnej ścieżek procesu (funkcje czasu).
• W teorii kategorii przestrzeń funkcyjną nazywa się obiektem wykładniczym bądź eksponentem. Z jednej strony pojawia się on jako reprezentacja bifunktora kanonicznego, ale jako (pojedynczy) funktor typu ${\displaystyle [X,\cdot ]}$ jawi się on jako funktor dołączony do funktora typu ${\displaystyle (\cdot \times X)}$ na obiektach.
• w programowaniu funkcyjnym i rachunku lambda wykorzystuje się typy przestrzeni funkcyjnych do wyrażenia idei funkcji wyższego rzędu.
• w teoria dziedzin poszukuje się przede wszystkim konstrukcji opartych na częściowych porządkach, które mogłyby modelować rachunek lambda poprzez uzyskanie porządnej kartezjańsko domkniętej kategorii.

Zobacz też

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń ${\displaystyle L_{p}}$
• przestrzeń Musielaka-Orlicza
• przestrzeń Orlicza
• przestrzeń Sobolewa

oraz:

• algebra Clifforda
• algebra liniowa
• ciało tensorowe
• teoria spektralna

Bibliografia

• F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1, s. 203–223.