Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Przestrzeń ilorazowa – przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle V}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ zaś ${\displaystyle N}$ podprzestrzenią ${\displaystyle V.}$ Zdefiniujmy na ${\displaystyle V}$ relację równoważności ${\displaystyle \sim }$ taką, że ${\displaystyle x\sim y\iff x-y\in N,}$ czyli ${\displaystyle x}$ jest w relacji z ${\displaystyle y}$ wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z ${\displaystyle N.}$ Klasa równoważności ${\displaystyle x}$ jest często oznaczana przez

${\displaystyle [x]\equiv x+N,}$

ponieważ jest dana jako

${\displaystyle [x]=\{x+n\mid n\in N\}.}$

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni ${\displaystyle N}$ wyznaczonymi przez wektor ${\displaystyle x.}$

Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle V/N}$ jest wówczas zdefiniowana jako ${\displaystyle V/\sim ,}$ czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad ${\displaystyle V.}$ Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

• ${\displaystyle \alpha [x]=[\alpha x]}$ dla każdego ${\displaystyle \alpha \in K,}$
• ${\displaystyle [x]+[y]=[x+y].}$

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają ${\displaystyle V/N}$ w przestrzeń liniową nad ${\displaystyle K.}$

Przykłady i własności

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Niech ${\displaystyle m\leqslant n,}$ zaś ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze ${\displaystyle m}$ wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich ${\displaystyle n-m}$ współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}}$ w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli ${\displaystyle V}$ daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle W{:}}$

${\displaystyle V=U\oplus W,}$

to przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle V/U}$ jest naturalnie izomorficzna z ${\displaystyle W.}$

Jeżeli ${\displaystyle U}$ jest podprzestrzenią ${\displaystyle V,}$ to kowymiar przestrzeni ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle V}$ jest zdefiniowany jako wymiar ${\displaystyle V/U.}$ Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów ${\displaystyle V}$ oraz ${\displaystyle U{:}}$

${\displaystyle \operatorname {codim} U=\dim V/U=\dim V-\dim U.}$

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z ${\displaystyle V}$ na przestrzeń ilorazową ${\displaystyle V/U}$ dany jako przesłanie elementu ${\displaystyle x}$ na jego klasę równoważności ${\displaystyle [x].}$ Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń ${\displaystyle U.}$

Niech ${\displaystyle T\colon V\to W}$ będzie przekształceniem liniowym. Jądrem ${\displaystyle T,}$ oznaczanym przez ${\displaystyle \ker T}$ jest zbiór wszystkich ${\displaystyle x\in V}$ takich, że ${\displaystyle Tx=0.}$ Jądro jest podprzestrzenią ${\displaystyle V.}$ Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle V/\ker T}$ jest izomorficzna z obrazem ${\displaystyle V}$ w ${\displaystyle W.}$ Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar ${\displaystyle V}$ jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych ${\displaystyle T\colon V\to W}$ jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle W/\operatorname {im} \;T,}$ zaś ${\displaystyle V/\ker T\simeq \operatorname {im} T.}$

Jeżeli ${\displaystyle T}$ będzie dane tak, aby ${\displaystyle W\subseteq \ker T,}$ zaś ${\displaystyle R\colon V\to V/W}$ będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe ${\displaystyle S\colon V/W\to W,}$ że ${\displaystyle S\circ R=T.}$ Ponadto jeśli:

• ${\displaystyle S}$ jest epimorfizmem, to ${\displaystyle T}$ również jest epimorfizmem,
• ${\displaystyle W=\ker T,}$ to ${\displaystyle S}$ jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha, a ${\displaystyle M}$ domkniętą podprzestrzenią ${\displaystyle X,}$ to iloraz ${\displaystyle X/M}$ również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na ${\displaystyle X/M}$ wzorem

${\displaystyle \|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.}$

Przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle X/M}$ jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady

Niech ${\displaystyle C[0,1]}$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale ${\displaystyle [0,1],}$ zaś ${\displaystyle M}$ oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji ${\displaystyle f\in C[0,1]}$ takich, że ${\displaystyle f(0)=0.}$ Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji ${\displaystyle g}$ jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle C[0,1]/M}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle X/M}$ jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym ${\displaystyle M.}$

Zobacz też

• grupa ilorazowa
• moduł ilorazowy
• przestrzeń ilorazowa (w topologii)