Przestrzeń l1

Przestrzeń 1przestrzeń Banacha p przy p = 1; przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych (xn) dla których

Definicja ta rozszerza się na dowolne zbiory indeksów – dla dowolnego zbioru niepustego Г definiuje się przestrzeń 1(Г) złożoną z funkcji skalarnych na Г, które są bezwzględnie sumowalne (w szczególności, zbiór elementów dziedziny każdej takiej funkcji na których jest ona niezerowa jest zbiór przeliczalny).

Własności

  • Przestrzeń 1 nie jest refleksywna; jej przestrzeń sprzężona jest w naturalny sposób izomorficzna z przestrzenią , tj. przestrzenią wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych. Dualność wyznaczona jest przez związek
Dla dowolnego zbioru Г również w podobny sposób można utożsamić (ℓ1(Г))* z ℓ(Г):
Jeżeli przestrzeń Banacha E ma tę własność, iż przestrzeń sprzężona E* jest izometryczna z (Г), to E jest izometryczna z ℓ1(Г).
  • Przestrzeń Banacha E jest projektywna, gdy dla każdej przestrzeni Banacha F, każdej przestrzeni F0 będącej obrazem pewnego (ograniczonego) operatora surjektywnego Q: FF0 (por. twierdzenie o odwzorowaniu otwartym) oraz każdego operatora T0: EF0 istnieje taki operator T: EF, że T0 = QT. Każda projektywna przestrzeń Banacha jest izomorficzna z przestrzenią ℓ1(Г) dla pewnego zbioru Г[1][2].
  • Przestrzeń 1 ma bazę Schaudera (en) złożoną z ciągów spełniających warunki en(m) = 1, gdy m = n i en(m) = 0, gdy mn. Jest to bezwarunkowa baza Schaudera.
  • Przestrzeń 1 jest izomorficzna z sumą prostą swoich dwóch kopii, a także z 1-sumą prostą 1(ℓ1); por. metoda rozkładu Pełczyńskiego.
  • Przestrzeń 1 jest słabo ciągowo zupełna.

Własność Schura

Przestrzeń 1 ma własność Schura, tj. ciągi zbieżne w 1 w sensie słabej topologii są również zbieżne w sensie normy. Fakt ten udowodnił I. Schur w 1921[3].

Dowód. Bez straty ogólności można ograniczyć się do wykazania, że jeżeli (fn) jest ciągiem elementów przestrzeni 1 zbieżnym słabo do 0 (tj. ‹ fn, g › → 0 dla każdego g), to || fn || → 0. Ze słabej zbieżności ciągu (fn) wynika zbieżność punktowa do 0 (wystarczy rozważać elementy standardowej bazy przestrzeni c0 za funkcjonały g). Dowód będzie przebiegał przez kontrapozycję. Załóżmy, że ciąg norm || fn || nie zbiega do 0, ale zbiega do 0 słabo. Brak zbieżności w normie do 0 oznacza, że przy ustalonym ε > 0, istnieje taki podciąg (fnk), że || fnk || > ε dla wszelkich k. Ciąg (fn1) należy do 1, a zatem istnieje takie M1 naturalne, że
Ponieważ || fn1 || > ε, zachodzi oszacowanie
Istnieje zatem taki indeks nk2 > nk1 := n1, że
Musi zatem istnieć takie M2 > M1, że
Kontynuując ten proces indukcyjnie, można dojść do ściśle rosnącego ciągu liczb naturalnych (Mj) oraz podciągu fnkj o tej własności, że
Niech g = (g(k)) będzie ciągiem liczbowym danym wzorem
gdy k należy do przedziału [Mj, ..., Mj+1). Wówczas g oraz || g || = 1. Ostatecznie, dla wszelkich j ≥ 2 zachodzi oszacowanie
które prowadzi do sprzeczności z założeniem o słabej zbieżności ciągu (fn) do 0.

W odróżnieniu od przestrzeni 1, przestrzeń L1 nie ma własności Schura ponieważ zawiera nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta (która jako przestrzeń refleksywna nie ma własności Schura).

Przypisy

  1. A. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, Studia Math. 19 (1960), 209–228.
  2. G. Köthe, Hebbare lokalkonvexe Räume, Math. Ann. 165 (1966), 181–195.
  3. J. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111.

Bibliografia

  • F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006, s. 37. ISBN 978-0-387-28141-4.
  • M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011, s. 252.