Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła

Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła – przestrzeń Banacha o tej własności, że dla każdej dodaniej liczby i każdego takiego elementu przestrzeni o normie równej 1, istnieje taka liczba (zależna od i ), że jeżeli jest elementem przestrzeni o normie równej 1 oraz

to

Pojęcie przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłej uogólnia pojęcie przestrzeni jednostajnie wypukłej i zostało wprowadzone w roku 1955 przez A.R. Lovaglię[1] – udowodnił on, m.in., że -suma przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłych nadal jest przestrzenią lokalnie jednostajnie wypukłą.

Dowodzi się, że przestrzeń Banacha jest lokalnie jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jej punktów o wyrazach mających normę równą 1 oraz dla którego istnieje granica

przy pewnym elemencie przestrzeni mającym normę 1, jest zbieżny do punktu

W literaturze używane bywa także pojęcie słabo lokalnie jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha, które definiuje się zastępując warunek zbieżności ciągu do powyżej słabą zbieżnością.

Własności i przykłady

  • W przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym z normą supremum (a więc, w szczególności, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha; por. twierdzenie Banacha-Mazura), istnieje norma równoważna, która jest lokalnie jednostajnie wypukła[2].
  • W każdej przestrzeni Banacha typu WCG istnieje norma lokalnie jednostajnie wypukła[3].
  • Jeżeli druga przestrzeń sprzężona przestrzeni Banacha jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, to jest refleksywna.
  • Przestrzeń sprzężona przestrzeni Banacha, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła ma również własność Radona-Nikodýma[4].
  • Szymon Draga udowodnił, że w każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha o tej własności, że przestrzeń sprzężona jest ośrodkowa można wprowadzić normę równoważną, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, ale nie lokalnie jednostajnie wypukła[5]

Przypisy

  1. ↑ A.R. Lovaglia, Locally uniformly convex Banach spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 78 (1955), s. 225–238.
  2. ↑ M.I. Kadec, Spaces isomorphic to a locally uniformly convex space, „Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat.” 13 (1959), s. 51–57.
  3. ↑ S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, „Studia Math.” 37, s. 173–180.
  4. ↑ J. Diestel, B. Faires, On vector measures, „Trans. Amer. Math. Soc.” 198 (1974), s. 253–271.
  5. ↑ Sz. Draga, On weakly locally uniformly rotund norms which are not locally uniformly rotund, „Colloq. Math.” 138 (2015), s. 241–246.

Bibliografia

  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 240. ISBN 0-8176-4367-2.