Przestrzeń lokalnie zwarta

Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt ${\displaystyle x\in X}$ ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

• odcinek domknięty ${\displaystyle [0,1],}$ zbiór Cantora i ogólniej każda przestrzeń zwarta,
• prosta rzeczywista ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n},}$
• każda przestrzeń dyskretna.

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

• przestrzeń liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ z topologią podprzestrzeni ${\displaystyle {\mathbb {R} },}$
• przestrzeń Baire’a ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} },}$
• przestrzeń liczb niewymiernych ${\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }}$ z topologią podprzestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire’a),
• przestrzeń ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}:y>0\}}$ (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

Własności

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią T₂, to

${\displaystyle X}$ jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ${\displaystyle x\in X}$ ma otoczenie zwarte.

• Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
• Całkowicie regularna przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a ${\displaystyle \beta X.}$
• Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
• Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T₂.
• Zarówno otwarte, jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
• Jeśli ${\displaystyle (X,\tau )}$ jest lokalnie zwartą przestrzenią T₂, ${\displaystyle U\in \tau }$ oraz ${\displaystyle Z\subseteq U}$ jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty ${\displaystyle V\in \tau }$ taki, że ${\displaystyle Z\subseteq V\subseteq \mathrm {cl} (V)\subseteq U}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {cl} (V)}$ jest zwarte.
• Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw. miara Haara.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń zwarta
• uzwarcenie Čecha-Stone’a
• uzwarcenie przestrzeni