Przestrzeń metryzowalna
Przestrzeń metryzowalna – przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne[a]; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
Przestrzeń topologiczną, w której nie da się wprowadzić metryki, nazywa się przestrzenią niemetryzowalną.
Twierdzenia o metryzacji
Pod nazwą twierdzenie o metryzacji rozumie się każde twierdzenie dające warunki wystarczające na to, by dana przestrzeń topologiczna była metryzowalna. Jednym z pierwszych twierdzeń tego typu były wyniki Pawła Urysohna mówiące, że:
- Przestrzeń zwarta Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia drugi aksjomat przeliczalności.
- Przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularną przestrzenią Hausdorffa.
Pierwsze z powyższych twierdzeń zostało udowodnione w 1924 roku[1], drugie – rok później w przypadku przestrzeni normalnych[2]. Twierdzenie w podanej tutaj wersji udowodnił Andriej Tichonow w 1926 roku[3]. Wnioskiem z obydwu powyższych twierdzeń jest następujący fakt:
- Kostka Hilberta jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni uniwersalnych ośrodkowych i dla przestrzeni metryzowalnych zwartych.
Jednym z klasycznych twierdzeń metryzacyjnych jest twierdzenie Nagaty-Smirnowa[4][5], które mówi, że:
- Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma σ-lokalnie skończoną bazę.
Wzmocnieniem twierdzenia Nagaty-Smirnowa jest twierdzenie Binga[6] (nazywane czasem twierdzeniem Nagaty-Binga-Smirnowa) mówiące, że:
- Przestrzeń Hausdorffa jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna i ma bazę σ-dyskretną.
Korzystając z twierdzenia Binga można dowieść twierdzenia Kowalsky’ego:
- Iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu kopii jeża jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni metryzowalnych o ciężarze [7].
Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie metryzowalną, jeśli każdy jej punkt ma metryzowalne otoczenie. Smirnow dowiódł, że przestrzeń lokalnie metryzowalna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffa i parazwarta; w szczególności rozmaitość jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parazwarta.
Innymi przykładami twierdzeń o metryzacji są m.in. twierdzenie Archangielskiego, twierdzenie Moore’a czy twierdzenie Aleksandrowa-Urysohna.
Przykłady przestrzeni niemetryzowalnych
Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc przestrzenie które nie są normalne nie są tym samym metryzowalne.
- Prosta Sorgenfreya nie jest metryzowalna; jednak jest ona Hausdorffa, parazwarta i spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
- Prosta Aleksandrowa jest lokalnie metryzowalna, ale nie jest metryzowalna.
- przestrzeń liniowo-topologiczna wszystkich funkcji z topologią zbieżności punktowej[b] (zob. przestrzeń funkcyjna).
- topologia Zariskiego na rozmaitości algebraicznej lub na spektrum pierścienia (pojęcie geometrii algebraicznej) – przestrzeń z topologią Zariskiego nie jest nawet przestrzenią Hausdorffa, więc nie może być metryzowalna.
Uwagi
- ↑ Wynika to stąd, iż odwzorowanie tożsamościowe jest homeomorfizmem.
- ↑ Topologia ta pokrywa się z topologią Tichonowa w produkcie
Przypisy
- ↑ Urysohn, Paweł: Über die Metrisation der kompakten topologischen Räume, Math. Ann. 92 (1924), s. 275–293.
- ↑ Urysohn, Paweł: Zum Metrisationproblem. Math. Ann. 94 (1925). s. 309–315.
- ↑ Tichonow, Andriej: Über einen Metrisationssatz von P. Urysohn. Math. Ann. vol. 95 (1926) s. 139–142.
- ↑ Nagata J.: On a necessary and sufficient condition of metrizability, J. Inst. Poly. Osaka City Univ. 1 (1950), s. 93–100.
- ↑ Smirnow Jurij: On metrization of topological spaces, Uspekhi. Matem. Nauk 6 (1951). s. 100–111.
- ↑ Bing R.H.: Metrization of topological spaces Canad. J. Math., 3 (1951) s. 175–186.
- ↑ Swardson, M.A.: A short proof of Kowalsky’s hedgehog theorem, „Proceedings of the American Mathematical Society” 75 (1979). s. 188. [1].