Przestrzeń ortogonalna

Przestrzeń ortogonalna – skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ wraz z określonym symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym

${\displaystyle \xi \colon V\times V\to K.}$

Funkcjonał ${\displaystyle \xi }$ nazywany jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni ortogonalnej ${\displaystyle V.}$

Przykład

Funkcjonał dwuliniowy

${\displaystyle \xi \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,}$

który w bazie kanonicznej ma macierz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\4&3&0\\1&0&2\end{bmatrix}},}$

jest uogólnionym iloczynem skalarnym w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Funkcjonał ten można zapisać w jawnej postaci

${\displaystyle \xi \left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4&1\\4&3&0\\1&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}=x_{1}y_{1}+4x_{2}y_{1}+4x_{1}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}+3x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}.}$

Zobacz też

• przestrzeń Kreina
• przestrzeń unitarna
• twierdzenie o bezwładności form kwadratowych

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.