Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Przestrzeń przeliczalnie zwarta – przestrzeń topologiczna analizowana w topologii ogólnej, będąca uogólnieniem przestrzeni zwartej.

Pojęcie to zdefiniował w 1906 francuski matematyk Maurice Fréchet^[1].

Definicja

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią przeliczalnie zwartą, jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Niektórzy autorzy^[2] wymagają dodatkowo, aby rozważana przestrzeń była T₂.

Przykłady

• Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Niech zbiór ${\displaystyle \omega _{1}}$ wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały ${\displaystyle (\alpha ,\beta ]}$ (dla ${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{1}}$) i zbiór jednopunktowy ${\displaystyle \{0\}.}$ Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
• Niech ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ będzie uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} }$ i niech ${\displaystyle p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} .}$ Wówczas ${\displaystyle \beta \mathbb {N} \setminus \{p\}}$ (z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.

Własności

• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
• Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i ${\displaystyle f:X\longrightarrow \mathbb {R} }$ jest funkcją ciągła, to obraz ${\displaystyle f(X)}$ funkcji ${\displaystyle f}$ jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja ${\displaystyle f}$ osiąga swoje kresy).
• Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią zwartą, to ${\displaystyle X\times Y}$ (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.

(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X}$ z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.

(c) Każdy zstępujący ciąg ${\displaystyle F_{0}\supseteq F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots }$ niepustych domkniętych podzbiorów ${\displaystyle X}$ ma niepusty przekrój.

(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów ${\displaystyle X}$ jest skończona.

(e) Każdy nieskończony podzbiór ${\displaystyle X}$ ma punkt skupienia.

Zobacz też

• przestrzeń Lindelöfa
• przestrzeń zwarta

Przypisy