Przestrzeń refleksywna

Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana X, o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

dane wzorem

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady

  • Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
  • Dla każdego 1 < p < ∞ i dowolnej miary μ przestrzeń Lp(μ) jest refleksywna.
  • Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna.
  • Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne - historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa J (przestrzeń ilorazowa J** / J jest jednowymiarowa).

Własności

  • Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa.[1]
  • W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta[2][3] (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a).
  • Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywna.[4][3]
  • Przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy X* jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
  • Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
  • Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
  • Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie - przykładem jest przestrzeń ℓ1.[4]

Twierdzenie Jamesa

Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha X jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na X osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej[5] , tj. istnieje taki element x ∈ X o normie 1, że

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa

Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie Lp(μ) dla p ∈ (1, ∞) są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa

Przestrzeń X nazywa się:

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu x przestrzeni X, że ||x|| = 1 istnieje dokładnie jeden taki element x* przestrzeni X*, że ||x*|| = 1 oraz ‹ x*, x › = 1.
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie x → x* takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w X*.

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej X* (a więc w konsekwencji przestrzeni X) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

X* jest refleksywna jeśli:X* ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
X**** jest ściśle wypukła
X*** jest gładka (ang. smooth)X*** jest ściśle wypukła.
X** jest słabo lokalnie jednostajnie wypukłaX** jest gładka
X* jest silnie gładka (ang. very smooth)X* jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[6]
X jest jednostajnie wypukłaX* jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera[7]:

Jeśli X*** jest silnie wypukła oraz X* zawiera właściwą podprzestrzeń liniową Y dla której odwzorowanie kanoniczne X → Y* jest izometrią, to X jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

  1. ↑ Morrison 2001 ↓, s. 75.
  2. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 246-247.
  3. ↑ a b Morrison 2001 ↓, s. 136.
  4. ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 251.
  5. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 262-263.
  6. ↑ J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Trans. Amer. Math. Soc. 198 (1974), 253-271
  7. ↑ I. Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975), 166-168

Bibliografia

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.