Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego[1]. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn[2], transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana)/espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder[3], adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu[4].

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę[a], podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalna

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

nazywa się przestrzenią sprzężoną do

Uwagi

  • Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli zaś jest skalarem, to
dla wszystkich
  • W przypadku, gdy nie zakłada się o nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń dla [5]. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego dla [6].
  • Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą z wypukłymi podzbiorami
    • Funkcjonały Minkowskiegopodliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami[7].
    • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu istnieje taki funkcjonał liniowy na przestrzeni że i
    dla każdego elementu przestrzeni
  • Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
  • Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do pisze się często Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast bądź pisze się po prostu lub W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej

W dalszej części artykułu oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni często oznacza się tym samym symbolem, co normę w W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np.

dla
  • Jeżeli przestrzeń jest ośrodkowa, to też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni jest przestrzeń która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej

Jeśli jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej to symbolem oznacza się słabą topologię w to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z są ciągłe.

W przestrzeni można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

postaci

jest ciągłe. z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • mocną topologię czyli topologię wyznaczoną przez normę w
  • słabą topologię
  • *-słabą topologię

Zachodzi między nimi następujący związek:

przy czym

wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

  • Niech będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
  • Jeśli jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory są ograniczone.
  • Jeśli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné[8].

Niech dla każdego oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli jest ograniczonym ciągiem punktów to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do

Mimo iż z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to

Twierdzenie Krejna-Szmuljana

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana[9].

Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie kulą jednostkową w Jeśli jest wypukłym podzbiorem to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbiór

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżona

Niech będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną czy -tą ). Jeżeli i oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, i to

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

dane wzorem

Izometryczność zanurzenia kanonicznego

Dla wszystkich funkcjonałów z i wszystkich elementów z przestrzeni zachodzi nierówność

więc odwzorowanie κX jest izometrią, gdyż dla każdego elementu przestrzeni spełniona jest równość:

Odwzorowanie κX nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κX jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’a[10] mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κX jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w w tzw. -topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ1. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ1[11].

Istnieją także pary przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum), których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

gdzie oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R.C. Jamesa[12].

Reprezentacje elementów

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta

Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego istnieje taki element że

dla każdego

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

gdzie jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego istnieje taki zbiór zwarty że

dla

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem

Gdy jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu zamiast

Twierdzenie Riesza

Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska taka, że

dla każdego Ponadto

gdzie oznacza wahanie całkowite miary Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces[13].

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909[14][15] Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona[16].

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937[17], a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych[18]. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow[19] i Shizuo Kakutani[20].

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c0

Niech i oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie i są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni i

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0

Jeśli to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

dla każdego Z drugiej strony, odwzorowanie określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c

Jeśli to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

dla każdego gdzie jest granicą ciągu Na odwrót, określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

Przestrzenie Lp

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru oraz niech będzie miarą σ-skończoną określoną na Ponadto niech będzie ustaloną liczbą z przedziału Niech

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji -mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli oraz jest miarą liczącą, to

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza

Jeśli to istnieje dokładnie jedna -mierzalna funkcja taka, że

dla każdego Przy czym, gdy

  • to oraz gdzie
  • to oraz

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do jest izometrycznie izomorficzna z gdzie (przyjmując ewentualnie umowę, że – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909[21] w przypadku, gdy jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue’a oraz Przypadek dla udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus[22].

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych

Jeżeli tzn. jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej Wówczas ciąg można utożsamiać z funkcją

Skoro jest przestrzenią dyskretną, a przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to jest funkcją ciągłą. Jeżeli jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie funkcji na (postać nie zależy od wyboru kuli ). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni odpowiada pewien element przestrzeni Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli to również jest ograniczona, czyli

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na

W przypadku przestrzeni można uogólnić powyższą metodę szukania opisu zastępując uzwarcenie Čecha-Stone’a przestrzeni przestrzenią Stone’a algebry miary to znaczy przestrzeni Stone’a ilorazowej algebry Boole’a

gdzie jest ideałem podzbiorów -miary zero zbioru Wówczas można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na

Przestrzenie Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni oraz Dodatkowo niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od tzn.

oraz czyli niech będzie produktem egzemplarzy przestrzeni Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią dystrybucji na takich, że

dla pewnego i jest wykładnikiem sprzężonym do Ponadto

gdzie kres brany jest po wszystkich dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni dla Mianowicie, przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni wyposażonej w normę

tzn.

gdzie jest wykładnikiem sprzężonym do

Refleksywność a własność Radona-Nikodýma przestrzeni sprzężonej

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej (a więc w konsekwencji przestrzeni ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

jest refleksywna jeśli: ma własność Radona-Nikodýma jeśli:
jest ściśle wypukła
jest gładka (ang. smooth) jest ściśle wypukła.
jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła jest gładka
jest silnie gładka (ang. very smooth) jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[23]
jest jednostajnie wypukła jest silnie gładka

gdzie przestrzeń nazywana jest

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu przestrzeni że istnieje dokładnie jeden taki element przestrzeni że oraz
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w

Uwagi

  1. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.

Przypisy

  1. Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l’Académie des Sciences”. 206, s. 1701–1704, 1938. Paryż. (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 157, s. 214–229, 1927. (niem.). 
  3. Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”. 2, s. 183–196, 1930. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne. (niem.). 
  4. Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”. 41, s. 252–267, 1940. Princeton. (ang.). 
  5. Joel H. Shapiro, Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex ''F''-spaces, „Israel Journal of Mathematics”, 7, Hebrew University Magnes Press, 1969, s. 369–380 [dostęp 2009-07-14] [zarchiwizowane z adresu 2010-06-15] (ang.).
  6. Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro, An ''F''-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms, „Israel Journal of Mathematics”, 20, Hebrew University Magnes Press, 1975, s. 282–291 [dostęp 2009-07-14] [zarchiwizowane z adresu 2010-06-15] (ang.).
  7. Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, s. 198–219, 1897. Göttingen. (niem.). 
  8. J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950).
  9. Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”. 41, s. 556–583, 1940. Princeton. [dostęp 2009-07-12]. (ang.). 
  10. Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), s. 125–131.
  11. S.A. Argyros, R.G. Haydon, A hereditarily indecomposable -space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Mathematica 206 (2011), 1–54.
  12. R.C. James, A separable somewhat reflexive Banach space with nonsepa-rable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), s. 738–743.
  13. William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES. Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 2009-07-11]. (ang.).
  14. Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  15. Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62.
  16. Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438.
  17. Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, s. 320–330.
  18. Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190.
  19. A. D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238.
  20. Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537.
  21. Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.
  22. Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221.
  23. J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Transactions of the American Mathematical Society 198 (1974), 253-271.

Bibliografia

  • Robert R. Adams: Sobolev Spaces. Acadamiec Press, 1975. ISBN 0-12-044150-0.
  • Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
  • Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5.
  • Julian Musielak. Jak powstawała analiza funkcjonalna. „Wiadomości Matematyczne”. 43, 2007. Polskie Towarzystwo Matematyczne. Warszawa. ISSN 0373-8302. [dostęp 2009-07-11]. (pol.). 
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
  • Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.
  • Laurent Schwartz: Théorie des distributions. Hermann, 1950.