Przestrzeń statystyczna dominowana

Przestrzeń statystyczna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {P}})}$ jest przestrzenią statystyczną dominowaną (lub przestrzenią statystyczną zdominowaną), jeżeli istnieje σ-skończona miara ${\displaystyle \mu }$ określona na ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ taka, że każda miara z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ jest absolutnie ciągła względem miary ${\displaystyle \mu ,}$ tzn. (po zastosowaniu twierdzenia Radona-Nikodýma):

${\displaystyle \bigwedge \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\bigvee \limits _{\frac {dP}{d\mu }}\bigwedge \limits _{A\in {\mathcal {F}}}P(A)=\int \limits _{A}{\frac {dP}{d\mu }}d\mu ,}$

gdzie ${\displaystyle {\frac {dP}{d\mu }}}$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych nieujemnych. Funkcja ${\displaystyle {\frac {dP}{d\mu }}}$ nazywana wówczas jest gęstością względem miary ${\displaystyle \mu ,}$ natomiast miara ${\displaystyle \mu }$ – miarą dominującą.

Przestrzeń statystyczną dominowaną, w której dla każdego ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ wybrano wersję ${\displaystyle p_{\theta }}$ gęstości ${\displaystyle {\frac {dP_{\theta }}{d\mu }}}$ oznaczamy:

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{p_{\theta }:\theta \in \Theta \}).}$

Zobacz też

• twierdzenie Radona-Nikodýma

Bibliografia

• Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982, s. 10. ISBN 83-01-02847-5.