Przestrzeń styczna

Przestrzeń styczna ${\displaystyle T_{x}M}$ 2-wymiarowa (płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości ${\displaystyle M}$ (powierzchni) w punkcie ${\displaystyle x}$ oraz wektor styczny ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ do krzywej ${\displaystyle \gamma }$ przechodzącej przez punkt ${\displaystyle x\in M.}$

Przestrzeń styczna – to przestrzeń liniowa utworzona z wektorów zaczepionych w ustalonym punkcie ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle M,}$ przy czym:

1. Przestrzeń ${\displaystyle M}$ w ogólności może być dowolną rozmaitością topologiczną.
2. Wymiar przestrzeni stycznej jest równy wymiarowi rozmaitości ${\displaystyle M.}$
3. Każdy element przestrzeni stycznej – wektor styczny do ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x}$ – jest styczny do jakiejś krzywej gładkiej rozmaitości, przechodzącej przez punkt ${\displaystyle x.}$
4. Przestrzeń styczną do ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x}$ oznacza się ${\displaystyle T_{x}(M)}$ lub ${\displaystyle T_{x}M.}$

Przestrzenie styczne do rozmaitości w różnych jej punktach są różnymi przestrzeniami.

Wektory z przestrzeni stycznej tworzą zbiór możliwych wektorów prędkości ${\displaystyle v,}$ jakie może mieć ciało w położeniu ${\displaystyle x,}$ poruszając się po rozmaitości. Po przesunięciu się ciała do innego punktu prędkość ciała będzie dana przez inny wektor – taki, który należy do przestrzeni stycznej tego punktu (nie jest to widoczne na rysunku).

Przestrzeń styczna do 2-wymiarowej powierzchni

Przestrzeń styczna (płaszczyzna styczna) w punkcie ${\displaystyle x}$ na sferze.

Wszystkie krzywe przechodzące przez dany punkt ${\displaystyle x}$ leżący na 2-wymiarowej powierzchni ${\displaystyle M}$ (np. powierzchni sfery czy elipsoidy itp.) mają wektor styczny, zaczepiony w tym punkcie. Suma dwóch wektorów stycznych jest nadal wektorem stycznym do jakiejś krzywej na tej powierzchni, przechodzącej przez punkt ${\displaystyle x.}$ To samo dotyczy mnożenia wektorów stycznych przez skalar.

Wszystkie wektory styczne do krzywych na powierzchni rozpinają więc w punkcie ${\displaystyle x}$ 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę styczną w punkcie ${\displaystyle x}$ do powierzchni ${\displaystyle M.}$

Płaszczyzna styczna w punkcie ${\displaystyle x}$ stanowi więc przybliżenie płaskie (liniowe w 2 wymiarach) powierzchni zakrzywionej ${\displaystyle M;}$ przybliżenie to jest tym lepsze, im bliżej punktu ${\displaystyle x}$ znajdują się punkty rozmaitości.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

W 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle E}$ wektor zaczepiony w pewnym punkcie jest określony przez punkt zaczepienia oraz 3 współrzędne. Wektory zaczepione w różnych punktach uważa się za odrębne, nawet jeśli mają te same współrzędne. Wektory zaczepione w tym samym punkcie ${\displaystyle x}$ tworzą 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, gdyż spośród wszystkich takich wektorów można wybrać tylko 3 liniowo niezależne. Wektory te tworzą bazę przestrzeni stycznej do ${\displaystyle E}$ w punkcie ${\displaystyle x}$ i oznacza symbolem ${\displaystyle T_{x}(E).}$

Wektory należą do tej samej przestrzeni stycznej, jeżeli mają ten sam punkt zaczepienia. Wektory zaczepione w różnych punktach przestrzeni ${\displaystyle E}$ należą do różnych przestrzeni stycznych.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej rozmaitości

Krzywe w 3-wymiarowej, dowolnej rozmaitości ${\displaystyle M}$ przechodzące przez ustalony punkt ${\displaystyle x}$ mają wektory do nich styczne w tym punkcie. Wektory te rozpinają 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, styczną do przestrzeni ${\displaystyle M}$ w punkcie ${\displaystyle x,}$ która jest aproksymacją płaską rozmaitości w ogólnym przypadku dowolnie zakrzywionej.

Przestrzeń styczna – pojęcie wewnętrzne rozmaitości

W opisie przestrzeni stycznej do dowolnej rozmaitości nie jest konieczne odwoływanie się do przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru, w której ta rozmaitość jest zanurzona.

Przykładowo sfera jest rozmaitością różniczkową 2-wymiarową. Powierzchnię sfery w otoczeniu punktu ${\displaystyle x}$ można sparametryzować za pomocą współrzędnych sferycznych ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \phi .}$ Mówi się, że za pomocą tych współrzędnych określona jest mapa ze sfery na przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ przy czym:

• każdemu punktowi ${\displaystyle x}$ na sferze odpowiada jednoznacznie punkt o współrzędnych ${\displaystyle (\theta (x),\phi (x))}$ w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2};}$
• każdej krzywej ${\displaystyle x(t)}$ na sferze odpowiada jednoznacznie krzywa w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ złożona z punktów o współrzędnych ${\displaystyle (\theta (t),\phi (t))}$ odpowiadających punktom ${\displaystyle x(t)}$ krzywej;
• wektorowi stycznemu do krzywej na sferze odpowiada wektor styczny do krzywej w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Tak określona przestrzeń styczna jest przestrzenią wektorową wymiaru 2, czyli tego samego wymiaru co sfera, do której jest styczna, gdyż:

• działaniom dodawania wektorów na sferze i mnożenia ich przez skalar (czyli działania określone w każdej przestrzeni wektorowej) odpowiadają analogiczne działania na odpowiadających im wektorach w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2};}$
• przestrzeń styczna nie zależy od wyboru współrzędnych krzywoliniowych i będzie identyczna dla każdej innej mapy.

Zatem wektory styczne do sfery w punkcie ${\displaystyle x}$ tworzą 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Pokazaliśmy to nie odwołując się do pojęcia zanurzenia sfery w przestrzeni 3-wymiarowej.

Przestrzeń styczna do n-wymiarowej rozmaitości

Rozmaitość w najogólniejszym przypadku jest przestrzenią topologiczna, która ma lokalnie własności przestrzeni euklidesowej. Rozmaitość ma wymiar ${\displaystyle n,}$ jeżeli przez każdy punkt ${\displaystyle x}$ rozmaitości przechodzą krzywe, których wektory styczne tworzą n-wymiarowe przestrzenie styczne (przestrzenie euklidesowe).

Definicja formalna przestrzeni stycznej

(1) Niech ${\displaystyle (U,\phi )}$ będzie mapą otoczenia ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle x}$ rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ klasy ${\displaystyle C^{1}}$ wymiaru ${\displaystyle n.}$

Krzywą klasy ${\displaystyle C^{r}}$ na rozmaitości ${\displaystyle M}$ przechodzącą przez punkt ${\displaystyle x}$ nazywa się odwzorowanie ${\displaystyle \gamma }$ klasy ${\displaystyle C^{r}}$ dowolnego przedziału ${\displaystyle (-\epsilon ,\epsilon )\subset \mathbb {R} }$ w ${\displaystyle M,}$ tj.

${\displaystyle \gamma :\ (-\epsilon ,\epsilon )\to M,}$

takie że ${\displaystyle \gamma (0)=x.}$

(2) Na zbiorze ${\displaystyle {\overline {T}}_{p}(M)}$ wszystkich krzywych klasy ${\displaystyle C^{1}}$ na rozmaitości ${\displaystyle M}$ i przechodzących przez punkt ${\displaystyle x}$ określamy relację równoważności ${\displaystyle \sim }$ taką, że dwie krzywe ${\displaystyle \gamma _{1}}$ i ${\displaystyle \gamma _{2}}$ są w relacji o ile wektory styczne w zerze do krzywych ${\displaystyle \phi \circ \gamma _{1}}$ oraz ${\displaystyle \phi \circ \gamma _{2}}$ (obie krzywe leżą w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) są równe, czyli:

${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}\iff {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\phi \circ \gamma _{1}){\Big |}_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\phi \circ \gamma _{2}){\Big |}_{t=0}}$

Można sprawdzić, że taka definicja relacji nie zależy od wyboru początkowej mapy ${\displaystyle (U,\phi ).}$

(3) Przestrzeń styczną do rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w punkcie ${\displaystyle x,}$ oznaczaną ${\displaystyle T_{x}(M),}$ definiuje się jako zbiór klas abstrakcji relacji ${\displaystyle \sim {:}}$

${\displaystyle T_{x}(M):={\overline {T}}_{x}(M)/\sim }$^[1]

Odwzorowanie ${\displaystyle {\overline {\Theta }}_{\phi }:{\overline {T}}_{x}(M)\to \mathbb {R} ^{n}}$ przyporządkowujące krzywej ${\displaystyle \gamma ,}$ przechodzącej przez ${\displaystyle x,}$ jej wektor styczny w zerze:

${\displaystyle {\overline {\Theta }}_{\phi }(\gamma ):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\phi \circ \gamma ){\Big |}_{t=0}}$

jest stałe na klasach abstrakcji relacji ${\displaystyle \sim }$ i indukuje bijekcję ${\displaystyle \Theta _{\phi }:\ T_{x}(M)\to \mathbb {R} ^{n},}$ daną wzorem: ${\displaystyle \Theta _{\phi }(\gamma '):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\phi \circ \gamma ){\Big |}_{t=0},}$ gdzie ${\displaystyle \gamma '}$ oznacza klasę abstrakcji krzywej ${\displaystyle \gamma }$ względem relacji ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (\gamma '\in T_{x}(M)).}$ Zatem ${\displaystyle T_{x}(M)}$ ma strukturę przestrzeni liniowej wymiaru ${\displaystyle n,}$ przeniesioną przez bijekcję ${\displaystyle \Theta _{\phi },}$ tzn. działania w przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{x}(M)}$ definiujemy następująco^[2]:

${\displaystyle u+v:=\Theta _{\phi }^{-1}(\Theta _{\phi }(u)+\Theta _{\phi }(v)),}$ dla dowolnych ${\displaystyle u,\ v\in T_{x}(M),}$

${\displaystyle \alpha \cdot v:=\Theta _{\phi }^{-1}(\alpha \Theta _{\phi }(v)),}$ dla dowolnego ${\displaystyle v\in T_{x}(M),}$ oraz dowolnego ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$

(4) Niezależność od wyboru mapy

Definicja przestrzeni stycznej nie zależy od wyboru mapy początkowej ${\displaystyle (U,\phi ).}$ Wzięcie innej mapy nie zmienia równości wektorów stycznych do krzywych, czyli relacji ${\displaystyle \sim .}$

Zobacz też

• przestrzeń kostyczna
• wektor styczny
• wiązka styczna
• współrzędne krzywoliniowe

Przypisy

Bibliografia

• WojciechW. Wojtyński WojciechW., Grupy i algebry Liego, Warszawa: PWN, 1986, ISBN 83-01-04934-0, OCLC 835897238 .