Przestrzeń zupełna

Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni^[1].

Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{e})}$ nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.

Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie zupełne

1. Przestrzenie euklidesowe ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{e})}$ n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
2. Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
3. Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
4. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Przestrzenie niezupełne

1. Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział ${\displaystyle (0,2]}$ nie jest zupełny, gdyż np. ciąg ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}$ jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
2. Zbiór liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nie jest zupełny, gdyż np.
   • ciąg ${\displaystyle x_{1}\;=\;1}$ oraz ${\displaystyle x_{n+1}\;=\;{\frac {x_{n}}{2}}\,+\,{\frac {1}{x_{n}}},n=1,2,3,...}$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$
   • ciąg ${\displaystyle x_{n}\;=\;\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}},}$ ${\displaystyle n=0,1,2,3,\dots }$ jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = ${\displaystyle e}$ (liczba Nepera).

Zupełność jako niezmiennik

Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ oraz dowolny przedział obustronnie otwarty ${\displaystyle (a,b)}$ są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty ${\displaystyle (a,b)}$ nie jest.

Dalsze własności

Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna ${\displaystyle \iff }$ każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona ${\displaystyle \iff }$ przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Twierdzenie Hausdorffa

Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)

1. Dla każdej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d)}$ istnieje przestrzeń metryczna zupełna ${\displaystyle {\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}}$ oraz zanurzenie izometryczne ${\displaystyle f\colon X\to {\tilde {X}},}$ dla którego ${\displaystyle f(X)}$ jest gęstą podprzestrzenią ${\displaystyle {\tilde {X}}.}$ Przestrzeń ${\displaystyle {\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}}$ nazywa się uzupełnieniem przestrzeni ${\displaystyle (X,d).}$
2. Ponadto jeśli ${\displaystyle (Y,\rho )}$ jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie ${\displaystyle g\colon X\to Y,}$ dla którego ${\displaystyle g(X)}$ jest gęstą podprzestrzenią ${\displaystyle Y,}$ to ${\displaystyle Y}$ i ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ są izometryczne.

Innymi słowy:

• Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.

Zobacz też

• przestrzeń ośrodkowa
• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń topologicznie zupełna
• przestrzeń zwarta

Przypisy

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.