Przestrzeń zupełna w sensie Čecha

Przestrzeń zupełna w sensie Čecha (albo topologicznie zupełna) – całkowicie regularna przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (X,\tau )}$ która jest podzbiorem typu G_δ pewnego swego uzwarcenia T₂.

Pojęcie przestrzeni topologicznie zupełnej było wprowadzone przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha^[1] w 1937.

Przykłady

Następujące przestrzenie są zupełne w sensie Čecha:

• prosta rzeczywista ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n},}$
• każda przestrzeń dyskretna,
• każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna,
• każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂.

Własności

• Całkowicie regularna przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest zupełna w sensie Čecha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona podzbiorem typu G_δ swego uzwarcenia Čecha-Stone’a.
• Przestrzeń metryzowalna jest zupełna w sensie Čecha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona metryzowalna w sposób zupełny.
• Każda przestrzeń topologicznie zupełna jest przestrzenią Baire’a.
• Jeśli topologicznie zupełna przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest podprzestrzenią całkowicie regularnej przestrzeni ${\displaystyle Y,}$ to ${\displaystyle X}$ jest podzbiorem typu G_δ swego domknięcia ${\displaystyle \mathrm {cl} _{Y}(X).}$

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń zwarta
• uzwarcenie przestrzeni
• uzwarcenie Čecha-Stone’a
• twierdzenie Baire’a

Przypisy