Przyspieszenie

Przyspieszenie
Rodzaj wielkości	wektorowa
Symbol
Jednostka SI	m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI
Wymiar

Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie^[1]^[2].

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości^[3]. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

Definicja

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor ${\vec {r}}$ określa położenie punktu materialnego, a wektor ${\vec {v}}$ określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie ${\vec {a}}$ jest pochodną prędkości po czasie:

{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

{\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

[{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .

Związek z dynamiką

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ${\vec {a}}$ ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły ${\vec {F}}$ działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała $m.$ Kierunek i zwrot przyspieszenia ${\vec {a}}$ pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły ${\vec {F}}.$ Wzór wyrażający tę zależność ma postać

{\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.

W ruchu prostoliniowym

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

a={\frac {dv}{dt}}.

W ruchu jednostajnie zmiennym

Gdy przyspieszenie jest stałe ( $a=\mathrm {const}$ ), wzór definicyjny przybiera postać

a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},

gdzie $\Delta v$ jest przyrostem prędkości w czasie $\Delta t.$

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Przyspieszenie styczne

a_{t}

i normalne

a_{n}

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym^[4], wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym ${\vec {a}}_{n}$ ) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. ${\vec {a}}_{t}$ ).

Wektor ${\vec {a}}$ przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej ${\vec {a}}_{n}$ i stycznej ${\vec {a}}_{t}{:}$

{\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

|{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości^[5]. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako $v,$ a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi $r,$ to wartość $a_{n}$ przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie $v$ dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie $s$ dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne $a_{t}$ określają wzory:

a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\alpha ,$ a $\omega$ oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego $\varepsilon$ określa wzór

\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe $q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni $R^{3}.$ Oznaczmy przez $\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układu^[1]^[6].

Jeżeli $\mathbf {a}$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.

(1)

Ponieważ

{\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}

zatem

a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}

(3)

mamy

{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}

(4)

i dzięki temu

\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.

(5)

Mamy również

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}

(6)

oraz

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.

(8)

Mamy zatem

\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów $a_{i}$ wektora przyspieszenia $\mathbf {a}$ na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.

(9)

Pomiar

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też

grawitacja
prędkość
przyspieszenie dośrodkowe
przyspieszenie grawitacyjne
przyspieszenie ziemskie
zryw – zmiana przyspieszenia w czasie

Przypisy

↑ ^a ^b G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.
↑ przyspieszenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-15] .
↑ J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.
↑ M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.
↑ R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.
↑ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.

[Sus-1] G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.

[epwn-2] przyspieszenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-15] .

[Awre-3] J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna, Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.

[Pal-4] M. Paluch, Mechanika teoretyczna, Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.

[5] R. Janiczek, Mechanika teoretyczna, Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.

[6] Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики, Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Działy	Dynamika Kinematyka Mechanika nieba Mechanika ośrodków ciągłych Mechanika statystyczna Mechanika stosowana Statyka
Sformułowania	Formalizm Hamiltona Formalizm Lagrange’a Mechanika newtonowska
Koncepcje podstawowe	Bezwładność Czas Energia Energia kinetyczna Energia potencjalna Grawitacja Masa Moc Moment bezwładności Moment pędu Moment siły / Moment / Para sił Popęd Praca Praca wirtualna Przestrzeń Przyspieszenie Prędkość Pęd Siła Szybkość Układ odniesienia Zasada d’Alemberta
Podstawowe zagadnienia	Bryła sztywna Dynamika bryły sztywnej Siła Coriolisa Kinematyczne równanie ruchu Oscylator harmoniczny Nieinercjalny układ odniesienia Oś obrotu Prawo powszechnego ciążenia Przemieszczenie Przyspieszenie kątowe Prędkość kątowa Prędkość obrotowa Pulsacja Ruch Ruch harmoniczny Ruch jednostajny prostoliniowy Ruch obrotowy Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) Siła bezwładności Siła dośrodkowa Siła odśrodkowa Tarcie Tłumienie Inercjalny układ odniesienia Wahadło Wibracje Zasady dynamiki Newtona
Znani uczeni	Jean le Rond d’Alembert Alexis Clairaut Leonhard Euler Galileusz William Rowan Hamilton Jeremiah Horrocks Joseph Louis Lagrange Pierre Simon de Laplace Pierre Louis Maupertuis Isaac Newton Henri Poincaré Siméon Denis Poisson

Navigation

Nawigacja

Portale tematyczne

Przyspieszenie

Spis treści

Definicja

Związek z dynamiką

W ruchu prostoliniowym

W ruchu jednostajnie zmiennym

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Przyspieszenie styczne

Przyspieszenie kątowe

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Pomiar

Zobacz też

Przypisy

Media użyte na tej stronie