Punkt Fermata

Konstrukcja punktu Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) – punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

Konstrukcja

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż ${\displaystyle 120^{\circ },}$ punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej ${\displaystyle 120^{\circ },}$ łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dowód

Dla dowolnego punktu ${\displaystyle F}$ wewnątrz ${\displaystyle \Delta ABC,}$ gdy obrócimy ${\displaystyle \Delta BFC}$ wokół punktu ${\displaystyle B}$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt ${\displaystyle 60^{\circ },}$ to otrzymamy ${\displaystyle \Delta BGD}$ (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie ${\displaystyle G}$ jest punktem wewnątrz ${\displaystyle \Delta BCD}$ spełniającym

${\displaystyle |GD|=|FC|,}$ ${\displaystyle |GB|=|FB|}$ oraz ${\displaystyle \angle FBG=60^{\circ },}$

więc ${\displaystyle \Delta GBF}$ jest równoboczny, czyli ${\displaystyle |BF|=|GF|.}$

Stąd ${\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|=|AF|+|FG|+|GD|.}$ Zatem wartość sumy ${\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|}$ najmniejsza, gdy punkty ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle D}$ są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie, obracając ${\displaystyle \Delta CFA}$ i ${\displaystyle \Delta AFB}$ wokół odpowiednich punktów, otrzymujemy, że punkt ${\displaystyle F}$ o minimalnej wartości sumy ${\displaystyle |AF|+|BF|+|CF|}$ leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

Właściwości

• Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych na bokach danego trójkąta.
• Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem ${\displaystyle 120^{\circ }.}$
• Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Dowód

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy ${\displaystyle \Delta BAQ}$ wokół punktu ${\displaystyle A}$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt ${\displaystyle 60^{\circ },}$ to otrzymamy ${\displaystyle \Delta RAC.}$ Stąd ${\displaystyle |BQ|=|CR|.}$ Analogicznie ${\displaystyle |BQ|=|AP|=|CR|.}$

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że ${\displaystyle \angle ARC=\angle ABQ,}$ oraz ${\displaystyle \angle ACR=\angle AQB.}$ Stąd

${\displaystyle \angle RFB=180^{\circ }-\angle FRB-\angle FBR=60^{\circ }.}$

Podobnie ${\displaystyle \angle RFA=\angle AFQ=\angle QFC=\angle CFP=\angle PFB=60^{\circ }}$

Zatem ${\displaystyle \angle AFB=\angle AFC=120^{\circ },}$ czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą ${\displaystyle 180^{\circ }.}$ Stąd na czworokątach ${\displaystyle AFBR}$ oraz ${\displaystyle AFCQ}$ można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na ${\displaystyle \Delta BCP.}$

Zobacz też

• twierdzenie Napoleona