Punkt równowagi

Stabilny punkt równowagi

Niestabilny punkt równowagi

Punkt równowagi, stan równowagi – stan układu mechanicznego, w którym pozostaje on w bezruchu (tj. prędkość zmian stanu wynosi 0). Jako przykład podać można wahadło, które ma dwa punkty równowagi, dokładnie poniżej oraz powyżej punktu zaczepienia wahadła.

Punkt ${\displaystyle x_{e}}$ określający położenie równowagi ciała spełnia warunek:

${\displaystyle f(x_{e},t)=0,}$

dla każdego ${\displaystyle t}$ – gdzie ${\displaystyle t}$ to czas, a ${\displaystyle f}$ siła działająca na ciało.

Punkty równowagi dzieli się na stabilne i niestabilne. Ponownie na przykładzie wahadła: punkt równowagi leżący powyżej punktu zaczepienia wahadła nie jest punktem stabilnym, ponieważ nawet niewielkie zaburzenie stanu układu spowoduje ruch wahadłowy i w efekcie przejście do drugiego punktu równowagi.

Stabilność punktu równowagi bada się za pomocą portretu fazowego oraz za pomocą metod Lapunowa, przy czym stabilność tę można określić jako:

zwykłą – gdy układ jedynie krąży w niewielkiej odległości ${\displaystyle (\epsilon )}$ od punktu równowagi,

lub:

jednostajną – gdy dodatkowo ${\displaystyle \epsilon }$ jest niezależny od czasu,

asymptotyczną – gdy dodatkowo ${\displaystyle x=x_{e}}$ po nieskończenie długim czasie,

asympt. wykładniczą – asymptotyczną, dla której ${\displaystyle \epsilon =e^{-\alpha t}}$ (gdzie ${\displaystyle \alpha >0,}$ a ${\displaystyle t}$ to czas).