Punkt skupienia zbioru

Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru ${\displaystyle A}$ przestrzeni topologicznej T1 taki punkt ${\displaystyle p,}$ dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający ${\displaystyle p}$ zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru ${\displaystyle A}$ różny od ${\displaystyle p,}$ tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ${\displaystyle p}$ ze zbiorem ${\displaystyle A}$ jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru^[1].

Własności

• Punkt ${\displaystyle p}$ jest punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru ${\displaystyle A\setminus \{p\}}$^[1].

• W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt ${\displaystyle p}$ jest punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru ${\displaystyle A\setminus \{p\}}$^[1][2].

Związane pojęcia

• Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt ${\displaystyle p}$ należący do zbioru ${\displaystyle A}$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru ${\displaystyle A}$ różnych od ${\displaystyle p.}$

• Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu ${\displaystyle p}$ znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru ${\displaystyle A,}$ to punkt ${\displaystyle p}$ nazywamy punktem kondensacji zbioru ${\displaystyle A.}$ Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).

• Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt ${\displaystyle x_{0}\in A}$ jest lewostronnym punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli jest punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A\cap (x,x_{0})}$ dla pewnego ${\displaystyle x<x_{0}.}$ Podobnie punkt ${\displaystyle x_{0}\in A}$ jest prawostronnym punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli jest punktem skupienia zbioru ${\displaystyle A\cap (x_{0},x)}$ dla pewnego ${\displaystyle x>x_{0}.}$
• Punktem skupienia ciągu ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }.}$ Innymi słowy, ${\displaystyle p}$ jest punktem skupienia ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty },}$ gdy dowolne otoczenie otwarte ${\displaystyle p}$ zawiera pewien element ciągu ${\displaystyle x_{n}.}$ Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg ${\displaystyle x_{n}=0}$ dla ${\displaystyle n}$ nieparzystych i ${\displaystyle x_{n}=n}$ dla ${\displaystyle n}$ parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg ${\displaystyle x_{1}=1,}$ ${\displaystyle x_{n}=2}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu ${\displaystyle x_{n}}$ to ${\displaystyle \{1,2\},}$ czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Przykłady

• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
• Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów ${\displaystyle (0,1)}$ oraz ${\displaystyle (0,1]}$ jest przedział ${\displaystyle [0,1].}$ Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
• Zbiór ${\displaystyle \{0,1,2\}}$ nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
• Jedynym punktem skupienia zbioru ${\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots \}}$ jest ${\displaystyle 0,}$ wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
• Jedynymi punktami skupienia zbioru ${\displaystyle \{1/4,3/4,1/5,4/5,1/6,5/6,1/7,6/7,\dots \}}$ są ${\displaystyle 0}$ i ${\displaystyle 1,}$ pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też

• kres dolny i górny
• punkt skupienia ciągu uogólnionego
• zbiór doskonały

Przypisy