Punkt stały

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem teoria punktu stałego (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji.

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\colon X\to X.}$

Punkt x należący do zbioru X

${\displaystyle x\in X}$

nazywamy punktem stałym odwzorowania ${\displaystyle f,}$ jeśli^[1]:

${\displaystyle f(x)=x}$.

Zbiór punktów stałych oznaczamy ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f){:}}$

${\displaystyle \operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}.}$

Zastosowania

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

• szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
• istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
• szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
• pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową (np. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lub ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) oraz ${\displaystyle F\colon X\to X.}$ Punkt ${\displaystyle x\in X}$ jest rozwiązaniem równania ${\displaystyle F(x)=0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania ${\displaystyle f={\mbox{id}}-F.}$

Zobacz też

• punkt okresowy
• teoria punktu stałego
• twierdzenia o punkcie stałym
• własność punktu stałego
• nieporządek

Przypisy

Bibliografia

• Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.

Linki zewnętrzne

• Michael Stevens, Fixed Points, kanał Vsauce na YouTube, 28 września 2016 [dostęp 2021-03-15].