Punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej

Klasa równoważności zbioru promieni^[1] względem ich równoległości.

Równoległość promieni jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Klasa równoważności tej relacji zawiera wszystkie promienie równoległe do pewnego ustalonego i możemy ją przyjąć za punkt w nieskończoności.

Model Poincarégo

W modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ promienie równoległe, to:

1. łuki półokręgów o końcach położonych na absolucie, których jeden z końców jest ustalonym punktem absolutu
2. łuk półokręgu o końcach położonych na absolucie, którego jeden z końców leży na absolucie oraz odcinek prostopadły do absolutu, którego jeden z końców leży na absolucie
3. dwa promienie zawarte w prostych (hiperbolicznych) będących w półpłaszczyźnie euklidesowej promieniami prostopadłymi do absolutu o wierzchołku na tym absolucie

Punktami w nieskończoności są więc w tym modelu punkty absolutu oraz punkt odpowiadający promieniom z punktu 3^[2].

• 

  Zbiór promieni równoległych do danego wyznacza dokładnie jeden punkt w nieskończoności (na rysunku tym punktem jest punkt absolutu modelu Poincaré).

• 

  Pęk prostych równoległych w modelu Poincarégo. Zbiór prostych, które mają jeden punkt wspólny w nieskończoności leżący na absolucie.

• 

  W modelu Poincarégo proste hiperboliczne (zielone) odpowiadające euklidesowym półprostym otwartym prostopadłym do absolutu są równoległe. Wyznaczają one punkt w nieskończoności ${\displaystyle M_{\infty }}$ nie należący do absolutu. Jest on klasą równoważności półprostych hiperbolicznych zawartych w tych prostych.

Przypisy

Bibliografia

Постников M. M.: Линейная алгебра. Москва: Наука, 1986. (ros.).

Zobacz też

• Równoległość w geometrii hiperbolicznej
• Trójkąt asymptotyczny
• Trójkąt podwójnie asymptotyczny
• Trójkąt potrójnie asymptotyczny
• Defekt trójkąta
• Model Poincarégo
• Kąt równoległości
• Prosta pochyła
• Proste nadrównoległe
• Punktu w nieskończoności sfery Riemanna