Punkty Brocarda

Ten artykuł od 2010-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Punkt Brocarda trójkąta skonstruowany w punkcie przecięcia trzech okręgów

Punkty Brocarda – szczególne punkty w trójkącie.

Francuski matematyk Henri Brocard (1845–1922), sformułował następujące zdanie^[1]:

W trójkącie ${\displaystyle ABC}$ o bokach ${\displaystyle a,b,c}$ znajduje się dokładnie jeden taki punkt ${\displaystyle P,}$ że proste ${\displaystyle AP,BP,CP}$ z bokami odpowiednio ${\displaystyle c,a,b}$ tworzą równe kąty ${\displaystyle \omega ,}$ tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości^[1]:

${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB.}$

Punkt ${\displaystyle P}$ nazywa się pierwszym punktem Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC.}$ Kąt ${\displaystyle \omega }$ jest kątem Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC.}$

Istnieje także drugi punkt Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC{:}}$ punkt ${\displaystyle Q,}$ dla którego odcinki ${\displaystyle AQ,BQ,CQ,}$ według tej kolejności, z bokami ${\displaystyle b,c,a}$ tworzą równe kąty, tzn. prawdziwy jest następujący ciąg równości:

${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$

Temu drugiemu punktowi Brocarda odpowiada ten sam kąt Brocarda, co pierwszemu punktowi Brocarda, tzn. kąt ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ jest równy kątowi ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.}$

Te dwa punkty Brocarda są ze sobą ściśle związane; w gruncie rzeczy odróżnienie pierwszego kąta od drugiego zależy od tego, w jakiej kolejności weźmiemy kąty trójkąta ${\displaystyle ABC}$! W ten sposób dla przykładu: pierwszy punkt Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC}$ jest równocześnie drugim punktem Brocarda w trójkącie ${\displaystyle ACB.}$

Konstrukcja

Przykład:

1. Obieramy trzy niewspółliniowe punkty ${\displaystyle A,B,C.}$
2. Kreślimy prostą ${\displaystyle c}$ przez punkty ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B,}$ prostą, a przez punkty ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C}$ oraz prostą ${\displaystyle b}$ przez punkty ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle A.}$
3. Kreślimy symetralną boku ${\displaystyle AB}$ i oznaczamy ją przez ${\displaystyle c'.}$
4. Kreślimy prostą ${\displaystyle c''}$ prostopadłą do prostej, a przez punkt ${\displaystyle B.}$
5. Punkt przecięcia się symetralnej ${\displaystyle c'}$ i prostej ${\displaystyle c''}$ oznaczamy ${\displaystyle O_{1}.}$
6. Z punktu ${\displaystyle O^{1}}$ kreślimy okrąg o promieniu ${\displaystyle |O1\ B|.}$ Wówczas okrąg ten przechodzi także przez punkt ${\displaystyle A}$ i jest styczny do prostej ${\displaystyle a.}$
7. Analogicznie konstruujemy okrąg przez punkty ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle B,}$ styczny do prostej ${\displaystyle b;}$

a następnie okrąg przez punkty ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle C,}$ styczny do prostej ${\displaystyle c.}$

Te trzy okręgi posiadają wspólny punkt – pierwszy punkt Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC.}$

Analogicznie konstruuje się drugi punkt Brocarda.

Równania kąta Brocarda

Oznaczmy przez ${\displaystyle A_{\Delta }}$ pole powierzchni trójkąta ${\displaystyle ABC.}$ Wówczas kąt Brocarda można obliczyć następującymi równaniami:

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \omega ={\frac {4A_{\Delta }}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {ctg} \omega =\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma .}$
• ${\displaystyle \sin \omega ={\frac {2A_{\Delta }}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}}$

Dla każdego trójkąta: ${\displaystyle \omega \leqslant 30^{\circ }.}$

Właściwości

• Oba punkty Brocarda trójkąta ${\displaystyle ABC}$ są ze sobą sprzężone izogonalnie.
• Punkt środkowy dwóch punktów Brocarda znajduje się na tzw. osi Brocarda, która łączy punkt środkowy koła opisanego i punkt Lemoine.

Prosta łącząca punkty Brocarda jest prostopadła do osi Brocarda.

Przypisy