Quasi-grupa

Quasi-grupa – grupoid z jednoznacznością rozwiązań równań liniowych (lewo- i prawostronnych)^[1]. W przypadku skończonego nośnika oznacza to, że tablica Cayleya działania grupoidu jest kwadratem łacińskim. Równoważnie można żądać, by grupoid miał własność skracania (lewo- i prawostronną)^[2].

Interpretując działanie dwuargumentowe jako mnożenie grupoid można uważać za (niekoniecznie łączną) strukturę algebraiczną z mnożeniem i dzieleniem (lewo- i prawostronnym).

Pętla to quasi-grupa z elementem neutralnym.

Definicja

Grupoid ${\displaystyle G}$ nazywa się quasi-grupą, jeśli dla dowolnych dwóch elementów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ istnieją jednoznacznie wyznaczone rozwiązania równań:

${\displaystyle ax=b,}$

${\displaystyle ya=b}$^[1].

Quasi-grupę ${\displaystyle G}$ można także określić za pomocą trzech operacji binarnych: ${\displaystyle ab,a/b,a\backslash b}$ (mnożenie, dzielenie prawostronne, dzielenie lewostronne) spełniających aksjomaty:

• dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in G}$

  ${\displaystyle (a/b)\ b=a,}$

  ${\displaystyle (ab)/b=a;}$

• dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in G}$

  ${\displaystyle (a\backslash b)\ b=a,}$

  ${\displaystyle (ab)\backslash b=a}$^[1].

Uwagi

• Jednoznaczność rozwiązania równania

  ${\displaystyle ax=b}$ (odp. ${\displaystyle ya=b}$)

pociąga własność skracania, tj.

jeśli ${\displaystyle ax=ay}$ (odp. ${\displaystyle xa=ya}$), to ${\displaystyle x=y}$^[2].

• Każda quasi-grupa jest quasi-grupą współrzędnych pewnej sieci.

Zobacz też

• quasi-grupa współrzędnych sieci
• sieć (geometria)

Przypisy

Bibliografia

• Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969–1970. Moskwa: Nauka, 1974. (ros.)
• Garret Birkhoff: Lattice Theory. Moskwa: Nauka, 1984. (ros.)