Różnica zbiorów

Różnica zbiorów ${\displaystyle A\ B}$ – zbiór złożony z tych elementów zbioru ${\displaystyle A,}$ które nie należą do ${\displaystyle B.}$

Definicje

Różnica zbiorów ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle A}$ oznaczona kolorem fioletowym.

Do różnicy zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ należą te i tylko te elementy zbioru ${\displaystyle A,}$ które nie należą do zbioru ${\displaystyle B}$^[1][2][3]:

${\displaystyle x\in (A\setminus B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\notin B)}$^[1],

co jest równoważne

${\displaystyle A\setminus B=\{x\in \Omega \;:\;x\in A\land x\notin B\}}$^[4]${\displaystyle {}=\{x\in A\;:\;x\notin B\}}$^[5],

gdzie ${\displaystyle \Omega }$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią^[6][7] lub uniwersum^[8].

Różnica zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ jest zazwyczaj oznaczana przez ${\displaystyle A\setminus B}$^[4][5], niekiedy także przez ${\displaystyle A-B}$^[1][2][3].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru. Za pomocą różnicy można zdefiniować także iloczyn (część wspólną) zbiorów:

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$^[9].

Przykłady

• Niech ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ będzie zbiorem liczb wymiernych a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas ${\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }}$ jest zbiorem liczb niewymiernych^[1] ${\displaystyle {\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }{:}}$

${\displaystyle {\mathbb {R} }\setminus {\mathbb {Q} }={\mathbb {I} }{\mathbb {Q} }.}$

• Jeżeli ${\displaystyle A=\{a,b,c\},}$ a ${\displaystyle B=\{b,c,d\},}$ to ${\displaystyle A\setminus B=\{a\}.}$

Własności

${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle B}$ (czyli zbiór ${\displaystyle A}$ zawiera się w ${\displaystyle B}$) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica ${\displaystyle A\ B}$ jest zbiorem pustym:

${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow A\setminus B=\varnothing .}$

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności^[10], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

• Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:

${\displaystyle X\setminus {\bigcup \limits _{i}}A_{i}=\bigcap \limits _{i}(X\setminus A_{i}).}$

• Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

${\displaystyle X\setminus {\bigcap \limits _{i}}A_{i}=\bigcup \limits _{i}(X\setminus A_{i}).}$

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru ${\displaystyle X}$ można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Zobacz też

• część wspólna
• dopełnienie zbioru
• różnica symetryczna zbiorów
• suma zbiorów

Przypisy

Bibliografia

• A.N. Kołmogorow, S.W. Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1989. ISBN 5-02-013993-9.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
• Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.