Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ zmiennych niezależnych ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}dq_{i}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\frac {\partial P(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}}$ – pochodna cząstkowa funkcji ${\displaystyle f}$ po zmiennej ${\displaystyle q_{i},}$
• ${\displaystyle dq_{i}}$ – różniczki zmiennych niezależnych.

Przypadek funkcji jednej zmiennej

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ (niebieska linia przedstawia jej fragment) za pomocą różnicy skończonej ${\displaystyle r}$ (będącej funkcją liniową – żółta linia na rysunku). Na rysunku oznaczono 2 punkty dziedziny ${\displaystyle x_{1}}$ oraz ${\displaystyle x_{1}+\Delta x=x_{2}.}$ Różnica wartości funkcji ${\displaystyle f}$ w tych dwóch punktach została oznaczona za pomocą ${\displaystyle \Delta f}$ to znaczy ${\displaystyle \Delta f=f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1}).}$ Pochodną funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{1},}$ tj. ${\displaystyle f'(x_{1})}$ oznaczono równoważnie za pomocą ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x_{1}).}$ Wartość ${\displaystyle f(x_{2})=f(x_{1}+\Delta x)}$ została przybliżona za pomocą funkcji (różnicy skończonej) ${\displaystyle r(x_{2})=f(x_{1})+f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})}$ (jak widać, funkcja ta jest liniowa względem ${\displaystyle x_{2}}$) co można zapisać inaczej (jak na rysunku) jako ${\displaystyle r(x+\Delta x)=f(x_{1})+{\frac {df}{dx}}(x_{1})\Delta x.}$ Na dolnym wykresie jest „nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu ${\displaystyle x_{1}}$” (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona, gdyż pokrywa się z niebieską.

Jeżeli, zależna od jednej zmiennej ${\displaystyle x,}$ funkcja rzeczywista ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ i jej pochodna ${\displaystyle f'(x)}$ jest określona, to różniczka zupełna ma postać

${\displaystyle df(x)=f'(x)dx.}$

Na wykresach przedstawiono przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz tą samą sytuację z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w „świecie różniczkowym” fragment wykresu funkcji nie ma krzywizny, ale jest odcinkiem prostej): gdy ${\displaystyle \Delta x\to 0,}$ to

ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając ${\displaystyle dx,}$ które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera).

Rysunki pokazują, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki: tak jak ${\displaystyle \Delta f}$ mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak ${\displaystyle df}$ mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych

Dla funkcji dwóch zmiennych ${\displaystyle f(x,y)}$ różniczka zupełna ma postać^[1]:

${\displaystyle df(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}dy.}$

Powyższe wyrażenie po zamianie różniczek na różnice skończone ${\displaystyle \Delta x,\Delta y}$ przyjmie postać przyrostu funkcji

${\displaystyle \Delta f(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\Delta x+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\Delta y.}$

Wówczas wartość funkcji można obliczyć w sposób przybliżony ze wzoru

${\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta f(x,y).}$

Różniczki wyższych rzędów^[2]

(1) Różniczkę drugiego rzędu ${\displaystyle d^{2}f(x,y)}$ oblicza się, korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać ${\displaystyle f(x,y)}$ piszemy ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}f&=d(df)\\&=d\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dx+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dy\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}dydx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}.\end{aligned}}}$

(2) Różniczka ${\displaystyle d^{3}f(x,y)}$ ma postać

${\displaystyle d^{3}f={\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}dx^{3}+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}}dx^{2}dy+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}}dxdy^{2}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial y^{3}}}dy^{3}.}$

(3) Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla ${\displaystyle (x+y)^{2}}$ oraz ${\displaystyle (x+y)^{3}.}$ Okazuje się, że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),i=1,\dots ,n}$ – dane funkcje zmiennych ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n},}$

to jest ono różniczką zupełną ${\displaystyle df}$ pewnej funkcji ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),}$ jeżeli dla każdego ${\displaystyle i,j}$ zachodzi:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.}$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną ${\displaystyle df,}$ widzimy, że funkcje ${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ mają postacie

${\displaystyle f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz też

• pochodna zupełna

Przypisy

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)