Równania Hamiltona

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równania Hamiltona, kanoniczne równania ruchu – jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange’a mechaniki w ujęciu Lagrange’a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu^[1].

Definicja równań Hamiltona

Równania Hamiltona – układ równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=-{\cfrac {\partial H}{\partial q_{i}}}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}={\cfrac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s}$

gdzie:

${\displaystyle p_{i}}$ – ${\displaystyle i}$-ty pęd uogólniony,

${\displaystyle q_{i}}$ – ${\displaystyle i}$-ta współrzędna uogólniona,

${\displaystyle s}$ – liczba stopni swobody układu,

${\displaystyle H=H(p_{1},\dots ,p_{s},q_{1},\dots ,q_{s},t)}$ – funkcja Hamiltona układu.

Równania Hamiltona stanowią układ ${\displaystyle 2s}$ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {p}}_{i}=\{p_{i},H\}\\[.5em]{\dot {q}}_{i}=\{q_{i},H\}\end{matrix}}\right.\quad i=1,\dots ,s}$

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych ${\displaystyle \{p_{1}(0),\dots ,p_{s}(0),q_{1}(0),\dots ,q_{s}(0)\}}$(lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń ${\displaystyle \{q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}}$ i pędów uogólnionych ${\displaystyle \{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t)\}}$ od czasu. Punkt ${\displaystyle \{p_{1}(t),\dots ,p_{s}(t),q_{1}(t),\dots ,q_{s}(t)\}}$ kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

Twierdzenie

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=m_{i}{\dot {q}}_{i}.}$ Ponadto jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość ${\displaystyle ({\dot {\boldsymbol {q}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}),{\dot {\boldsymbol {p}}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}))}$ ma znikającą dywergencję

${\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=0,}$

gdzie:

${\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right).}$

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału „wektorowego” ${\displaystyle H,}$ którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego, że

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}.}$

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

${\displaystyle \nabla \cdot ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\sum _{i}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0.}$

Jak widać, także

${\displaystyle \nabla H\cdot \not \nabla H=\sum _{i}\left({\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=0.}$

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

${\displaystyle ({\dot {\boldsymbol {q}}},{\dot {\boldsymbol {p}}})=\not \nabla H,}$

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań ${\displaystyle \not \nabla H}$ do gradientu Hamiltonianu ${\displaystyle H.}$

Przykład – oscylator harmoniczny

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{2}}.}$

Przestrzeń fazowa ${\displaystyle x,p}$ jest więc dwuwymiarowa, tzn. jest płaszczyzną.

Z równań Hamiltona otrzymamy:

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-x,}$

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=p.}$

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze, otrzymujemy równanie Newtona:

${\displaystyle {\ddot {x}}=-x.}$

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

${\displaystyle x(t)=\mathrm {e} ^{\lambda t},}$

przy czym ${\displaystyle \lambda ^{2}=-1}$ lub równoważnie ${\displaystyle \lambda =\pm \mathrm {i} .}$

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą – stąd ${\displaystyle x(t)}$ w ogólnym przypadku ma postać:

${\displaystyle x(t)=x(0)\cos t+C\sin t.}$

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie, otrzymamy pęd:

${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}x(t)\mathrm {d} t=-x(0)\sin t+C\cos t=-x(0)\sin t+p(0)\cos t.}$

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

${\displaystyle p(t)^{2}+x(t)^{2}=x(0)^{2}+p(0)^{2}=const.}$

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu ${\displaystyle [x(t),p(t)]}$ porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych ${\displaystyle x(0),p(0)}$ odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie się obraca, zachowując w czasie ten sam kształt.

Przypisy