Równania MHD

Ten artykuł od 2011-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równania MHD – podstawowe równania magnetohydrodynamiki, opisujące zachowanie się materii przewodzącej prąd elektryczny w tym szczególnie płynów w obecności pola magnetycznego.

"Idealna" MHD

Najprostszą postać równania MHD przyjmują w tzw. przybliżeniu idealnym. W idealnej MHD zakłada się, że płyn jest nielepki, o zaniedbywanej oporności. Innymi słowy jest to przypadek kiedy magnetyczna liczba Reynoldsa jest bardzo duża.

${\displaystyle {\frac {\partial \varrho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varrho {\boldsymbol {v}})=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varrho {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\nabla \cdot (\varrho {\boldsymbol {vv}})=-\nabla p-{\frac {1}{8\pi }}\nabla (B^{2})+{\frac {1}{4\pi }}({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varepsilon {\boldsymbol {v}})=-p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=\nabla \times ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$

Powyższe równania to kolejno: równanie ciągłości masy, równanie ruchu, równanie energii, równanie indukcji.

Użyte symbole to:

• ${\displaystyle \varrho }$ – gęstość,
• ${\displaystyle p}$ – ciśnienie,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ – prędkość,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ – indukcja magnetyczna,
• ${\displaystyle \varepsilon }$ – gęstość energii wewnętrznej

Równania MHD z opornością

Rozpatrując zjawisko, dla którego nie można zaniedbać oporności plazmy (np. grzanie korony słonecznej) należy uwzględnić w równaniach prawo Ohma. Układ równań przyjmie wtedy postać:

${\displaystyle {\frac {\partial \varrho }{\partial t}}=-\nabla \cdot (\varrho {\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle \varrho {\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}=-\varrho ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}-\nabla P-{\frac {1}{8\pi }}\nabla (B^{2})+{\frac {1}{4\pi }}({\boldsymbol {B}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}=-\nabla [(E+P){\boldsymbol {v}}]+{\frac {4\pi \eta _{\mathrm {e} }}{c^{2}}}|{\boldsymbol {j}}|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=-\nabla \times (\eta _{\mathrm {e} }\nabla \times {\boldsymbol {B}})+\nabla \times ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ – gęstość prądu
• ${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} }}$ – oporność elektryczna
• ${\displaystyle E}$ – suma gęstości energii wewnętrznej i kinetycznej na jedn. objętości