Równania płytkiej wody

Równania płytkiej wody – w geofizyce opisują dywergencyjny przepływ barotropowy i są specjalnym przypadkiem quasi-statycznych prymitywnych równan ruchu atmosfery lub oceanu.

Równania płytkiej wody na płaszczyźnie f

Zakładając cienką warstwę cieczy o stałej gęstości ze swobodną powierzchnią, można wyprowadzić podstawowe równania płytkiej wody dla stałej siły Coriolisa (płaszczyźnie ${\displaystyle f}$) oraz w dywergencyjnym ruchu barotropowym w liniowym przybliżeniu kiedy odchylenie wysokości fali jest małe w porównaniu z wysokością cieczy ${\displaystyle (h\ll H),}$ mamy:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\Big )}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle u}$ – prędkość w kierunku ${\displaystyle x}$ (prędkość strefowa),

${\displaystyle v}$ – prędkość w kierunku ${\displaystyle y}$ (prędkość merydionalna),

${\displaystyle h}$ – odchylenie powierzchni stałego ciśnienia od jej średniej wysokości ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle H}$ – średnia wysokość powierzchni stałego ciśnienia,

${\displaystyle g}$ – przyśpieszenie grawitacyjne,

${\displaystyle f}$ – współczynnik Coriolisa, na Ziemi jest równy ${\displaystyle 2\Omega \sin \varphi ,}$ gdzie ${\displaystyle \Omega }$ jest kątową prędkością obrotu Ziemi (${\displaystyle \pi /12}$ radianów/godzinę), ${\displaystyle \varphi }$ jest szerokością geograficzną.

Równania płytkiej wody na płaszczyźnie β

Przy podobnych założeniach co poprzednio, ale dla równikowej płaszczyzny ${\displaystyle \beta .}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\beta yv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+\beta yu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\Big )}=0,}$

gdzie ${\displaystyle \beta }$ jest zdefiniowane jako parametr beta.

Znormalizowane równania płytkiej wody względem prędkości ${\displaystyle c,}$ długości ${\displaystyle L}$ i czasu ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle c=(gH)^{1/2},L=(c/\beta )^{1/2},T=c\beta ^{-1/2}}$ przyjmują następującą formę

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-yv=-{\frac {\partial h}{\partial x}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+yu=-{\frac {\partial h}{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.}$

Wartości własne i funkcje własne tego układu^[1] można otrzymać, zakładając rozkład Fouriera

${\displaystyle u(x,y,t)=U(k,y)e^{i(kx+\omega t)},}$

${\displaystyle v(x,y,t)=V(k,y)e^{i(kx+\omega t)},}$

${\displaystyle h(x,y,t)=H(k,y)e^{i(kx+\omega t)},}$

czyli

${\displaystyle i\omega U-yV+ikH=0,}$

${\displaystyle i\omega V+yU={\frac {dH}{dy}}=0,}$

${\displaystyle i\omega H+ikU+{\frac {dV}{dy}}=0.}$

Równania te dają

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\Big (}\omega ^{2}-k^{2}+{\frac {k}{\omega }}-y^{2}{\Big )}V=0,}$

a dla przepływu blisko równika ${\displaystyle V}$ musi dążyć do zera dla dużych wartości ${\displaystyle y}$ (dużych szerokości geograficznych).

Równanie to jest podobne do równania Schrödingera dla kwantowego oscylatora harmonicznego i rozwiązania są możliwe tylko dla szczególnych (dyskretnych ${\displaystyle n}$) kombinacji ${\displaystyle \Omega }$ oraz ${\displaystyle k}$ danych zależnością dyspersyjną

${\displaystyle \omega ^{2}-k^{2}+{\frac {k}{\omega }}=2n+1\quad {}}$ dla ${\displaystyle n=0,1,2\dots }$

Rozwiązanie tego równania opisuje prędkość fazową jako funkcja długości fali w atmosferze równikowej. Natomiast funkcje własne tego równania opisują prędkość horyzontalną ${\displaystyle (u,v)}$ i wysokość fal ${\displaystyle (H+h)}$ dla poszczególnych ${\displaystyle {\bmod {(}}n=0,1,2\dots ).}$ Analiza tych funkcji pozwala na zidentyfikowanie w atmosferze tropikalnych fal inercyjno-grawitacyjnych, równikowych fal Rossby’ego (czyli cyklonów tropikalnych) oraz fal Kelvina^[1].

Charney^[2] porównywał złożoność fal atmosferycznych do muzyki: Można powiedzieć, że atmosfera jest podobna do instrumentu muzycznego, na którym można grać wiele melodii. Wysokie tony to fale dźwiękowe, niskie tony to długie fale inercyjne, a natura jest raczej podobna do Beethovena niż do Chopina: preferuje dużą ilość niskich tonów i tylko od czasu do czasu gra pasaże w górnych rejestrach i to tylko delikatną ręką. Oceany i kontynenty to są słonie z utworu Saint-Saënsa, maszerujące w powolnym ciężkim rytmie w przybliżeniu jeden krok dziennie. Oczywiście istnieją też owertony: fale dźwiękowe, fale na górnych warstwach chmur (fale grawitacyjne), oscylacje inercyjne itp. – ale te są nieistotne i są słyszalne tylko na NYU i MIT.

Przypisy

Bibliografia

• Adrian E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics. T. 30. Academic press, 1982, s. 662, seria: International Geophysics Series. ISBN 978-0122835223.