Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego – równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujące gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoît Clapeyrona^[1]. Prawo to można wyrazić wzorem^[2][3]:

${\displaystyle pV=nRT}$

${\displaystyle pv=RT}$

gdzie^[a]:

• ${\displaystyle p}$ – ciśnienie
• ${\displaystyle V}$ – objętość
• ${\displaystyle v}$ – objętość molowa
• ${\displaystyle n}$ – liczba moli gazu, będąca miarą liczby jego cząsteczek; n = v/V
• ${\displaystyle T}$ – temperatura (w kelwinach)
• ${\displaystyle R}$ – uniwersalna stała gazowa: R = N_Ak_B, gdzie: N_A – stała Avogadra (liczba Avogadra), k_B – stała Boltzmanna, R = 8,314 J/(mol·K)

Izotermy gazu doskonałego. Zakrzywione linie reprezentują zależność pomiędzy ciśnieniem (na osi pionowej) a objętością (na osi poziomej) dla idealnego gazu w różnych temperaturach: linie, które są dalej od początku (czyli linie, które są bliżej prawego górnego rogu wykresu) reprezentują wyższe temperatury.

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

• gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
• cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia, w którym się znajdują;
• nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
• objętość (rozmiary) cząsteczek pomija się;
• zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

Zderzenia molekularne w zamkniętym zbiorniku (zbiornik propanu) pokazano po prawej stronie. Strzałki przedstawiają losowe ruchy i kolizje tych cząsteczek. Ciśnienie i temperatura gazu są wprost proporcjonalne: wraz ze wzrostem temperatury ciśnienie propanu wzrasta o ten sam współczynnik. Prostą konsekwencją tej proporcjonalności jest to, że w ciepłym dniu ciśnienie w zbiorniku propanu zostanie podniesione, a zatem zbiorniki propanu muszą być przystosowane do wytrzymywania takiego wzrostu ciśnienia.

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu przy danym ciśnieniu.

Wyprowadzenie

Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu (n = 1) poprzez podanie 3 zmiennych np. T, p, V. Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych, tj. p = f(T,V). Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia dp jako

${\displaystyle \operatorname {d} p={{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)}_{V}}\operatorname {d} T+{{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)}_{T}}\operatorname {d} V}$

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany, czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Jacques Alexandre Charles (prawo Charles’a) i podał jej równanie w postaci:

${\displaystyle p=kT}$

skąd wynika

${\displaystyle {{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} T}}\right)}_{V}}=k={\frac {p}{T}}}$

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyle’a i Mariotte’a (izotermiczna przemiana Boyle’a-Mariotte’a) wzorem

${\displaystyle p={\frac {l}{V}}}$

gdzie l to stała. Z równania tego wynika, że

${\displaystyle {{\left({\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} V}}\right)}_{T}}=-{\frac {l}{{V}^{2}}}=-{\frac {p}{V}}}$

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na dp

${\displaystyle \operatorname {d} p={\frac {p}{T}}\operatorname {d} T-{\frac {p}{V}}\operatorname {d} V}$

Dzieląc to równanie przez p można rozdzielić zmienne

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} p}{p}}={\frac {\operatorname {d} T}{T}}-{\frac {\operatorname {d} V}{V}}}$

Po wycałkowaniu

${\displaystyle \ln p=\ln T-\ln V+C}$

Stałą całkowania C można zapisać przy pomocy innej stałej R

${\displaystyle C=\ln R}$

wówczas, ponieważ funkcja ln jest różnowartościowa, a to prowadzi do równania

${\displaystyle pV=RT}$

Rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu n. Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

• n moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu (V = nRT/p).
• w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej (n = pV/RT)
• n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierało na jego ścianki takie samo ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz (p = nRT/V).

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Jako równanie Clapeyrona określana jest też zależność opisująca przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

Energia gazu

Zgodnie z założeniami kinetycznej teorii gazów zakładaliśmy, że nie ma międzycząsteczkowych oddziaływań pomiędzy cząsteczkami gazu doskonałego. Innymi słowy, jego potencjalna energia wynosi zero. Stąd cała energia posiadana przez gaz jest energią kinetyczną:

${\displaystyle E={\frac {3}{2}}RT}$

Jest to energia kinetyczna jednego mola gazu.

Zobacz też

• Przemiany termodynamiczne
  • przemiana izobaryczna – (stałe ciśnienie p = const)
  • przemiana izotermiczna – (stała temperatura T = const)
  • przemiana izochoryczna – (stała objętość V = const)
  • przemiana adiabatyczna – (brak wymiany ciepła z otoczeniem Q = 0)
  • przemiana politropowa – (pVⁿ = const, gdzie n – wykładnik politropy)

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• applet Java obrazujący działanie przemian gazu doskonałego. walter-fendt.de. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-10-23)].