Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.
Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania [1][2]:
gdzie opisuje transformację
która daje rozwiązania równań ruchu, w których i pełnią rolę stałych całkowania.
Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego[3].
Wyprowadzenie
Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona
| | | | |
| | | | (1) |
- dla
Jeżeli przekształcenie kanoniczne
| | | | |
| | | | (2) |
prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.
| | | | (3) |
równania Hamiltona przybierają postać
| | | | |
| | | | (4) |
Ich rozwiązaniem jest więc po prostu
| | | | |
| | | | (5) |
gdzie i są stałymi całkowania.
Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych i
| | | | |
| | | | (6) |
stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych
| | | | |
| | | | (7) |
problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.
Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem
| | | | |
| | | | (8) |
gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest
| | | | |
i wykorzystując (5) otrzymujemy
| | | | |
| | | | (9) |
Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór
| | | | (10) |
można rozwinąć (3) do postaci
| | | | (11) |
Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego[3]:
| | | | (12) |
Przypisy