Równanie Kortewega-de Vries

Ten artykuł od 2011-05 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Równanie Kortewega-de Vries – nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe opisujące ruch fali w płytkiej wodzie w długim kanale, jak następuje:

${\displaystyle u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0.}$

Rozwiązanie solitonowe

Załóżmy tzw. niezmienniczość Galileusza rozwiązania ${\displaystyle u}$ tzn.

${\displaystyle u(x,t)=u(x-vt).}$

Podstawiając

${\displaystyle y=x-vt,}$

redukujemy równanie cząstkowe do równania różniczkowego zwyczajnego

${\displaystyle -vu_{y}+6uu_{y}+u_{yyy}=0.}$

Całkując raz, otrzymujemy

${\displaystyle -vu+3u^{2}+u_{yy}=C.}$

Równanie to ma rozwiązanie (${\displaystyle C=0}$)

${\displaystyle u(y)={\frac {1}{2}}\,v\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v}}{2}}y\right].}$

Powracając do oryginalnych współrzędnych otrzymujemy rozwiązanie

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\,v\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v}}{2}}(x-v\,t)\right].}$

Rozwiązanie to opisuje soliton o niezmiennym kształcie kwadratu funkcji ${\displaystyle sech}$ podobnym do funkcji Gaussa i poruszający się ze stałą prędkością ${\displaystyle v.}$