Równanie Langevina

Równanie Langevina – stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {x} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}+F(x,t)+\Gamma (t),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ jest trajektorią śledzonej cząstki, ${\displaystyle m}$ to masa cząstki, ${\displaystyle \gamma }$ jest współczynnikiem tarcia, ${\displaystyle F(x,t)}$ oznacza deterministyczną zewnętrzną siłę mogącą działać w układzie. ${\displaystyle \Gamma (t)}$ jest losową składową siły, powstałą na skutek przypadkowych zderzeń śledzonej cząstki z cząstkami otaczającego środowiska. W klasycznym przypadku przyjmuje się, że ${\displaystyle \Gamma (t)}$ ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Często stosowaną metodą wyznaczenia średnich, gdy nieznane są metody analityczne, jest numeryczna symulacja równania (czasami nazywane symulacjami Monte-Carlo).

Bibliografia

• Jerzy Łuczka, Łukasz Machura, Równania stochastyczne i ich interpretacja > Równania stochastyczne i ich interpretacja, skrypt UŚ
• Andrzej Krawiecki, Stochastyczne równania różniczkowe (wykład), Wydział Fizyki UW