Równanie Pfaffa

Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o ${\displaystyle 2n+1}$ zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa.

Równanie Pfaffa

Niech ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ oraz ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną w całym zbiorze ${\displaystyle D.}$ Rozwiązaniem (albo powierzchnią całkową równania) w zbiorze ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ równania

${\displaystyle f\left(x_{1},\dots ,x_{n},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{n}}}\right)=0}$

nazywa się każdą taką funkcję ${\displaystyle U\ni x\mapsto \zeta (x),}$ że

${\displaystyle f\left(x,\zeta (x),{\frac {\partial \zeta }{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial \zeta }{\partial x_{n}}}\right)\equiv 0}$ dla ${\displaystyle x\in U.}$

Równaniem Pfaffa w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$ zmiennych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},z,p_{1},\dots ,p_{n},}$ nazywa się równanie różniczkowe cząstkowe

${\displaystyle dz-\sum _{i=1}^{n}p_{i}dx_{i}=0.}$

Rozwiązania równania Pfaffa można interpretować jako ${\displaystyle n}$-wymiarowe powierzchnie w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1},}$ spełniające warunek

${\displaystyle f(x,z,p)=0,}$

przy czym ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n}),\,p=(p_{1},\dots ,p_{n}).}$

Zobacz też

• forma Pfaffa

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.