Równanie Słuckiego
Równanie Słuckiego, którego nazwa pochodzi od Jewgienija Słuckiego, opisuje zmianę popytu w rozumieniu Marshalla (nieskompensowanego) będącą wynikiem zmiany popytu w rozumieniu Hicksa (skompensowanego). Równanie pokazuje, że zmiana popytu na dobro wywołana zmianą ceny jest spowodowana przez dwa efekty:
- efekt substytucyjny, będący skutkiem zmiany relacji cen między dwoma dobrami,
- efekt dochodowy, będący wynikiem zmiany ograniczenia budżetowego konsumenta.
Model
![Dwuwymiarowy wykres przedstawiający łukowato opadające krzywe; osie odpowiadają konsumpcji dwóch różnych dóbr, a krzywe – poziomy ich łącznej konsumpcji, które są z punktu widzenia preferencji konsumenta równoważne.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Indifference_curve.png/220px-Indifference_curve.png)
Równanie Słuckiego dekomponuje zmianę popytu na dobro -tego w wyniku zmiany ceny -tego dobra:
gdzie oznacza popyt w rozumieniu Hicksa, oznacza popyt w rozumieniu Marshalla, jest wektorem cen, jest budżetem lub poziomem dochodów, zaś jest ustalonym poziomem użyteczności obliczonym poprzez maksymalizację użyteczności przy oryginalnych cenach i budżecie, formalnie określonym za pomocą funkcji wartości Prawa strona równania jest równa zmianie popytu na -te dobro przy utrzymaniu użyteczności na poziomie minus popyt na -te dobro, przemnożone przez zmianę popytu na -te dobro pod wpływem zmiany budżetu.
Pierwsze wyrażenie po prawej stronie równania wyraża efekt substytucyjny, a drugie – efekt dochodowy. Efektu substytucyjnego, podobnie jak użyteczności, nie da się bezpośrednio zaobserwować. Można go oszacować na podstawie dwóch obserwowalnych składników równania Słuckiego. Ten proces jest znany jako dekompozycja Hicksa.
Równanie może zostać sformułowane w inny sposób, wykorzystując elastyczność:
gdzie jest (nieskompensowaną) elastycznością cenową, jest skompensowaną elastycznością cenową, jest elastycznością dochodową -tego dobra, a jest udziałem w ograniczeniu budżetowym -tego dobra.
To samo równanie można zapisać w postaci macierzowej:
gdzie jest operatorem różniczkowania po cenie, zaś jest operatorem różniczkowania po budżecie.
Macierz nosi nazwę macierzy Słuckiego i przy wystarczających warunkach płynności funkcji użyteczności jest symetryczna, negatywnie półokreślona i jest hesjanem funkcji wydatków.
Wyprowadzenie
Chociaż istnieje wiele sposobów na wyprowadzenie równania Słuckiego, poniższa jest prawdopodobnie najprostsza. Zaczynając od zależności gdzie jest funkcją wydatków, a otrzymuje się za pomocą maksymalizacji użyteczności przy danych oraz Wyliczenie pochodnej po daje następujący wynik:
Wykorzystując zależność wynikającą z lematu Shepharda oraz to, że dla optimum
- gdzie jest funkcją wartości, powyższe równanie można podstawić do wcześniejszego i przepisać całość jako równanie Słuckiego.
Zobacz też
- teoria wyboru konsumenta
Bibliografia
- The Slutsky Equation, [w:] Hal Ronald Varian , Microeconomic analysis, wyd. 3, New York: Norton, 1992, s. 119, ISBN 0-393-95735-7, OCLC 24847759 [dostęp 2019-06-06] .
- Philip Jackson Cook , A „One Line” Proof of the Slutsky Equation, „The American Economic Review”, 62 (1/2), 1972, s. 139–139, ISSN 0002-8282, JSTOR: 1821480 [dostęp 2019-06-11] .
Media użyte na tej stronie
Autor: Oryginalnym przesyłającym był Jrincayc z angielskiej Wikipedii, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Indifference curve graphic was created by en:user:jrincayc to illustrate the en:indifference curve article. 'Note: axes are different in SVG version to be more intuitive