Równanie Słuckiego

Równanie Słuckiego, którego nazwa pochodzi od Jewgienija Słuckiego, opisuje zmianę popytu w rozumieniu Marshalla (nieskompensowanego) będącą wynikiem zmiany popytu w rozumieniu Hicksa (skompensowanego). Równanie pokazuje, że zmiana popytu na dobro wywołana zmianą ceny jest spowodowana przez dwa efekty:

• efekt substytucyjny, będący skutkiem zmiany relacji cen między dwoma dobrami,
• efekt dochodowy, będący wynikiem zmiany ograniczenia budżetowego konsumenta.

Model

Na wykresie krzywej obojętności efekt dochodowy odpowiada przesunięciu krzywej w górę lub w dół (wyższym lub niższym ograniczeniom budżetowym); efekt substytucyjny odpowiada nowemu, zmienionemu nachyleniu krzywej (innej stopie substytucji dóbr).

Równanie Słuckiego dekomponuje zmianę popytu na dobro ${\displaystyle i}$-tego w wyniku zmiany ceny ${\displaystyle j}$-tego dobra:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$

gdzie ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$ oznacza popyt w rozumieniu Hicksa, ${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$ oznacza popyt w rozumieniu Marshalla, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ jest wektorem cen, ${\displaystyle w}$ jest budżetem lub poziomem dochodów, zaś ${\displaystyle u}$ jest ustalonym poziomem użyteczności obliczonym poprzez maksymalizację użyteczności przy oryginalnych cenach i budżecie, formalnie określonym za pomocą funkcji wartości ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w).}$ Prawa strona równania jest równa zmianie popytu na ${\displaystyle i}$-te dobro przy utrzymaniu użyteczności na poziomie ${\displaystyle u}$ minus popyt na ${\displaystyle j}$-te dobro, przemnożone przez zmianę popytu na ${\displaystyle i}$-te dobro pod wpływem zmiany budżetu.

Pierwsze wyrażenie po prawej stronie równania wyraża efekt substytucyjny, a drugie – efekt dochodowy. Efektu substytucyjnego, podobnie jak użyteczności, nie da się bezpośrednio zaobserwować. Można go oszacować na podstawie dwóch obserwowalnych składników równania Słuckiego. Ten proces jest znany jako dekompozycja Hicksa.

Równanie może zostać sformułowane w inny sposób, wykorzystując elastyczność:

${\displaystyle \epsilon _{p,ij}=\epsilon _{p,ij}^{h}-\epsilon _{w,i}b_{j},}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon _{p}}$ jest (nieskompensowaną) elastycznością cenową, ${\displaystyle \epsilon _{p}^{h}}$ jest skompensowaną elastycznością cenową, ${\displaystyle \epsilon _{w,i}}$ jest elastycznością dochodową ${\displaystyle i}$-tego dobra, a ${\displaystyle b_{j}}$ jest udziałem w ograniczeniu budżetowym ${\displaystyle j}$-tego dobra.

To samo równanie można zapisać w postaci macierzowej:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {D_{p}} }$ jest operatorem różniczkowania po cenie, zaś ${\displaystyle \mathbf {D_{w}} }$ jest operatorem różniczkowania po budżecie.

Macierz ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$ nosi nazwę macierzy Słuckiego i przy wystarczających warunkach płynności funkcji użyteczności jest symetryczna, negatywnie półokreślona i jest hesjanem funkcji wydatków.

Wyprowadzenie

Chociaż istnieje wiele sposobów na wyprowadzenie równania Słuckiego, poniższa jest prawdopodobnie najprostsza. Zaczynając od zależności ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u)),}$ gdzie ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ jest funkcją wydatków, a ${\displaystyle u}$ otrzymuje się za pomocą maksymalizacji użyteczności przy danych ${\displaystyle \mathbf {p} }$ oraz ${\displaystyle w.}$ Wyliczenie pochodnej po ${\displaystyle p_{j}}$ daje następujący wynik:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}.}$

Wykorzystując zależność ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$ wynikającą z lematu Shepharda oraz to, że dla optimum

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$ gdzie ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$ jest funkcją wartości, powyższe równanie można podstawić do wcześniejszego i przepisać całość jako równanie Słuckiego.

Zobacz też

• teoria wyboru konsumenta

Bibliografia

• The Slutsky Equation, [w:] Hal RonaldH.R. Varian Hal RonaldH.R., Microeconomic analysis, wyd. 3, New York: Norton, 1992, s. 119, ISBN 0-393-95735-7, OCLC 24847759 [dostęp 2019-06-06] .
• Philip JacksonP.J. Cook Philip JacksonP.J., A „One Line” Proof of the Slutsky Equation, „The American Economic Review”, 62 (1/2), 1972, s. 139–139, ISSN 0002-8282, JSTOR: 1821480 [dostęp 2019-06-11] .