Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne – termin używany w analizie matematycznej i w teorii sterowania.

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu ${\displaystyle n}$-tego:

${\displaystyle a_{n}x^{(n)}+a_{(n-1)}x^{(n-1)}+...+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,}$

w którym ${\displaystyle x^{(n)}}$ oznacza ${\displaystyle n}$-tą pochodną funkcji ${\displaystyle x(t)}$ po zmiennej ${\displaystyle t.}$ Jeśli poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci ${\displaystyle e^{rt},}$ to podstawiając to rozwiązanie do powyższego równania, otrzymuje się równanie ze współczynnikiem ${\displaystyle r{:}}$

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}=0,}$

które nazywane jest równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Natomiast wielomian

${\displaystyle W(r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}}$

nazywa się wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Podobnie w teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

${\displaystyle G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

to równanie charakterystyczne^[1]układu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}=0.}$

Przypisy