Równanie czwartego stopnia

Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0,}$ przy ${\displaystyle a\neq 0.}$

Rys historyczny

W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.

Najprostsze przypadki równań

W pewnych przypadkach równanie

można rozwiązać prostszymi metodami.

Równanie dwukwadratowe

Jeśli ${\displaystyle b=d=0,\quad {}}$ czyli gdy (1) jest postaci

to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić ${\displaystyle t=x^{2}.}$

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe ${\displaystyle at^{2}+ct+h=0,}$ które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotne

Jeśli ${\displaystyle b=d\;{}}$ oraz ${\displaystyle {}\;a=h,\;{}}$ czyli gdy (1) jest postaci

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez ${\displaystyle x^{2}}$ i otrzymując

${\displaystyle a(x^{2}+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.}$

Podstawiając ${\displaystyle y=x+x^{-1},}$ otrzymuje się ${\displaystyle x^{2}+x^{-2}=y^{2}-2}$ i równanie kwadratowe:

${\displaystyle a(y^{2}-2)+by+c=0,}$

z którego oblicza się ${\displaystyle y,}$ a potem wyznacza się ${\displaystyle x.}$

Równanie ze znanym jednym z pierwiastków

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek ${\displaystyle x_{0}}$ równania (1), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h}$ przez ${\displaystyle x-x_{0},}$ redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1).

Redukcja równania ogólnego

Równanie (1) jest redukowalne do postaci

Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez ${\displaystyle a,}$ otrzymując:

Następnie stosuje się podstawienie ${\displaystyle x=u-{\tfrac {b}{4a}}}$ prowadzące do:

Po wymnożeniu otrzymuje się:

${\displaystyle \left(u^{4}-{\frac {b}{a}}u^{3}+{\frac {6b^{2}}{16a^{2}}}u^{2}-{\frac {4b^{3}}{64a^{3}}}u+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}\right)}$

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

Jeśli oznaczy się jako

${\displaystyle p={\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}},}$

${\displaystyle r={\frac {-3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {h}{a}},}$

to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ ${\displaystyle u=x+{\tfrac {b}{4a}}}$ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z ${\displaystyle u,}$ to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu ${\displaystyle x+{\tfrac {b}{4a}}.}$

Rozwiązywanie równania zredukowanego

Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartes’a-Eulera

Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

dla ${\displaystyle q\neq 0\quad {}}$ (równanie nie jest dwukwadratowe).

Znajdowanie jednego pierwiastka

Wprowadza się trzy zmienne ${\displaystyle t,v,w}$ spełniające równanie

${\displaystyle t+v+w=2u.}$

Wówczas

${\displaystyle t^{2}+v^{2}+w^{2}+2(tv+tw+vw)=4u^{2},}$

a stąd

${\displaystyle \left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)^{2}+4\left(t^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\left(tv+tw+vw\right)}$
${\displaystyle {}+4\left(t^{2}v^{2}+t^{2}w^{2}+v^{2}w^{2}\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^{4}.}$

Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na ${\displaystyle u,u^{2},u^{4}}$ dane przez powyższe równania, otrzymuje się:

Każda trójka liczb ${\displaystyle t,v,w}$ spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie ${\displaystyle u}$ równania (2). Jeśli liczby ${\displaystyle t,v,w}$ spełniają równania

to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do

to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ „równania rozwiązującego”:

Niech

• ${\displaystyle t}$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby ${\displaystyle z_{1},}$
• ${\displaystyle v}$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby ${\displaystyle z_{2},}$ a
• ${\displaystyle w}$ będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby ${\displaystyle z_{3},}$ przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ ${\displaystyle q\neq 0,}$ to ${\displaystyle z_{3}\neq 0}$ i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby ${\displaystyle t,v,w}$ spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):

${\displaystyle u_{0}={\frac {t+v+w}{2}}.}$

Znajdowanie wszystkich pierwiastków

„Równanie rozwiązujące”

ma pierwiastki ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}.}$

Następnie wyznacza się liczby ${\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1},}$ tak że ${\displaystyle t^{2}=z_{1},}$ ${\displaystyle v^{2}=z_{2},}$ ${\displaystyle w^{2}=z_{3}}$ oraz ${\displaystyle tvw=-q.}$

Wówczas liczby ${\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}}$ spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

${\displaystyle t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}=-2p}$

oraz

${\displaystyle t_{1}^{2}v_{1}^{2}+t_{1}^{2}w_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}=p^{2}-4,}$

a stąd

Skoro

${\displaystyle \left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right)}$

${\displaystyle =\left[\left(2u-t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}\right]\left[\left(2u+t_{1}\right)^{2}-\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}\right]}$

${\displaystyle =\left(4u^{2}-t_{1}^{2}\right)^{2}-\left(2u-t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)^{2}-\left(2u+t_{1}\right)^{2}\left(v_{1}+w_{1}\right)^{2}+\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle =16u^{4}-8u^{2}\left(t_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)-16ut_{1}v_{1}w_{1}+t_{1}^{4}+v_{1}^{4}+w_{1}^{4}-2\left(t_{1}^{2}w_{1}^{2}+t_{1}^{2}v_{1}^{2}+v_{1}^{2}w_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle =16(u^{4}+pu^{2}+qu+r),}$

to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz ${\displaystyle t_{1}v_{1}w_{1}=-q,}$ więc otrzymuje się równanie:

${\displaystyle 16(u^{4}+pu^{2}+qu+r)=\left(2u-t_{1}-v_{1}-w_{1}\right)\left(2u-t_{1}+v_{1}+w_{1}\right)}$

${\displaystyle \cdot \left(2u+t_{1}-v_{1}+w_{1}\right)\left(2u+t_{1}+v_{1}-w_{1}\right),}$

więc liczby

${\displaystyle u_{1}={\frac {t_{1}+v_{1}+w_{1}}{2}},}$   ${\displaystyle u_{2}={\frac {t_{1}-v_{1}-w_{1}}{2}},}$

${\displaystyle u_{3}={\frac {-t_{1}+v_{1}-w_{1}}{2}},}$   ${\displaystyle u_{4}={\frac {-t_{1}-v_{1}+w_{1}}{2}}}$

spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód

Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się

${\displaystyle \left(u_{1}-u_{2}\right)\left(u_{1}-u_{3}\right)\left(u_{1}-u_{4}\right)\left(u_{2}-u_{3}\right)\left(u_{2}-u_{4}\right)\left(u_{3}-u_{4}\right)=\left(t_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)\left(t_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}-w_{1}^{2}\right),\quad {}}$

gdzie nadal ${\displaystyle t_{1},v_{1},w_{1}}$ są pierwiastkami równania (12).

Metoda Ferrariego

Równanie (2) przekształca się do

${\displaystyle u^{4}+2pu^{2}+p^{2}=pu^{2}-qu-r+p^{2},}$

a następnie

Wprowadzamy nową niewiadomą ${\displaystyle v.}$ Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie ${\displaystyle v,}$ można zapisać

czyli

Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę ${\displaystyle v,}$ tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem ${\displaystyle v}$

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy ${\displaystyle v}$ będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

${\displaystyle (p+2v)u^{2}-qu+(p^{2}-r+2pv+v^{2})}$

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:

${\displaystyle (u^{2}+p+v)^{2}=(p+2v)\left(u-{\frac {q}{2(p+2v)}}\right)^{2}.}$

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):

${\displaystyle \left(u^{2}-{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v+{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)\left(u^{2}+{\sqrt {p+2v}}\cdot u+p+v-{\tfrac {q}{2{\sqrt {p+2v}}}}\right)=0.}$

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie zwrotne

Bibliografia

• Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne” Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
• Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive (ang.)