Równanie parametryczne

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas ${\displaystyle t}$ – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe

Parabola

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

${\displaystyle y=x^{2},}$

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru ${\displaystyle t}$ w następujący sposób:

${\displaystyle x=t}$

${\displaystyle y=t^{2}.}$

Okrąg

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu ${\displaystyle a{:}}$

${\displaystyle x=a\cos(t)}$

${\displaystyle y=a\sin(t),}$

gdzie ${\displaystyle t\in [0,2\pi ).}$

Przykłady trójwymiarowe

Helisa

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

${\displaystyle x=a\cos(t)}$

${\displaystyle y=a\sin(t)}$

${\displaystyle z=bt,}$

gdzie ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ),}$

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu ${\displaystyle a,}$ która wznosi się o ${\displaystyle 2\pi b}$ co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).}$

Powierzchnie parametryczne

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów ${\displaystyle t,u{:}}$

${\displaystyle x=\cos(t)\cdot [R+r\cos(u)]}$

${\displaystyle y=\sin(t)\cdot [R+r\cos(u)]}$

${\displaystyle z=r\cdot \sin(u),}$

gdzie ${\displaystyle t\in [0,2\pi ),}$${\displaystyle u\in [0,2\pi ).}$

Zastosowanie

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

${\displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b),}$

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

${\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0).}$

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej ${\displaystyle t}$ z równań ${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t).}$ Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla ${\displaystyle t,}$ wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y.}$ Jeśli ${\displaystyle x(t)}$ i ${\displaystyle y(t)}$ są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej ${\displaystyle t.}$ Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie^[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x=a\cos(t)}$

${\displaystyle y=a\sin(t)}$

${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle t\in [0,2\pi ).}$

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ korzystając z jedynki trygonometrycznej:

${\displaystyle x/a=\cos(t)}$

${\displaystyle y/a=\sin(t)}$

${\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1}$

${\displaystyle \therefore (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,}$

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy