Równanie parametryczne

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiarowe

Parabola

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru w następujący sposób:

Okrąg

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu

gdzie

Przykłady trójwymiarowe

Helisa

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

gdzie

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu która wznosi się o co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

Powierzchnie parametryczne

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów

gdzie

Zastosowanie

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej z równań Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne oraz Jeśli i są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych oraz korzystając z jedynki trygonometrycznej:

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy

Media użyte na tej stronie

Butterfly transcendental curve.svg
Autor: Krishnavedala, Licencja: CC BY-SA 3.0
Polar plot of transcendental butterfly curve created using maxima and Gnuplot.
, with
Torus.png
A simple torus fading out to a wireframe structure. Rendered using POV-Ray
Parametric Helix.png
Autor: Math.geek3.1415926 (talk), Licencja: CC BY-SA 3.0
Parametric helix graphed in Gnuplot